چگالی انرژی حجمی میدان الکتریکی و بیان نیروی مکانیکی به شکل مشتقی از انرژی میدان الکتریکی در امتداد یک مختصات متغیر. چگالی انرژی حجمی یک میدان الکتریکی چقدر است؟

انرژی میدان الکتریکی

انرژی هادی ها و خازن های باردار معمولاً بر حسب بار و پتانسیل آنها تعیین می شود. با این حال، می توان انرژی یک سیستم باردار را با ویژگی های میدان الکتریکی آن مرتبط کرد. برای انجام این کار، یک خازن تخت را در نظر بگیرید که پارامترهای آن در شکل 52.1 نشان داده شده است.

بیایید از فرمول (51.5) استفاده کنیم و با در نظر گرفتن عبارات (41.2) و (35.3) تبدیل ها را انجام دهیم:

مقدار، حجم فضای بین صفحات خازن است. با غفلت از اعوجاج میدان در لبه‌های صفحات (اثر لبه)، می‌توان فرض کرد که میدان خازن بین صفحات آن متمرکز است. سپس V- این نیز حجم میدان الکتریکی است. مطابق با این فرمول (52.1) را در فرم می نویسیم

. (52.2)

بیان (52.2) انرژی یک خازن باردار را از طریق ویژگی های میدان الکتریکی تعیین می کند: قدرت آن. Eو حجم V. بر این اساس، می توان نتیجه گرفت که انرژی در میدان الکتریکی محلی است، که خود میدان دارای انرژی است و نه بار الکتریکی. در این رابطه باید گفت که در الکترواستاتیک پاسخی برای این سوال وجود ندارد، زیرا میدان های ساکن ایجاد شده توسط بارهای الکتریکی در نظر گرفته می شوند. میدان های متناوب می توانند مستقل از بارهای الکتریکی وجود داشته باشند و به شکل امواج الکترومغناطیسی منتشر شوند. انتقال انرژی توسط امواج الکترومغناطیسی به صورت تجربی ثابت شده است و در سیستم های مخابراتی استفاده می شود. این دلیل می‌دهد که ادعا کنیم میدان الکتریکی حامل انرژی است. بنابراین، این معادله انرژی میدان الکتریکی را تعیین می کند. ارتباط بین انرژی میدان و حجم آن مادی بودن میدان الکتریکی را تایید می کند.

مقدار انرژی در واحد حجم میدان را چگالی انرژی حجمی می نامند.

میدان یک خازن تخت یکنواخت است و انرژی با همان چگالی در آن توزیع می شود. بنابراین می توانیم بنویسیم:

واحد چگالی انرژی حجمی - ژول در هر متر مکعب. با ترکیب فرمول های (52.3) و (52.2)، به دست می آوریم

.

بیایید تبدیل ها را با استفاده از عبارت (47.1) انجام دهیم:

. (52.4)

بیایید از معادله استفاده کنیم و بایاس الکتریکی را در آن جایگزین کنید Dمطابق با فرمول (47.6):

. (52.5)

عبارت اول در این عبارت با چگالی انرژی میدان الکتریکی در خلاء () مصادف است، عبارت دوم نشان دهنده انرژی صرف شده برای قطبش دی الکتریک است.

فرمول های چگالی انرژی برای یک میدان یکنواخت به دست آمد، اما آنها برای هر میدانی در یک دی الکتریک همسانگرد قابل استفاده هستند. این به شما امکان می دهد انرژی میدان موجود در هر حجمی را محاسبه کنید:

, (52.6)

جایی که برای یک میدان غیر یکنواخت، قدرت باید توسط تابع مشخص شود .

فصل 5. جریان الکتریکی DC

1. انرژی یک سیستم بارهای نقطه ای ساکن.نیروهای برهمکنش الکترواستاتیک محافظه کارانه هستند. بنابراین، سیستم بارها دارای انرژی بالقوه است. اجازه دهید انرژی پتانسیل یک سیستم از دو بار نقطه ثابت را پیدا کنیم که در فاصله r از یکدیگر قرار دارند. هر یک از این بارها در میدان دیگری دارای انرژی بالقوه است:

به ترتیب پتانسیل های ایجاد شده توسط بار در نقطه ای که بار در آن قرار دارد و توسط بار در نقطه ای که بار در آن قرار دارد، کجا و هستند. طبق فرمول (8.3.6)

با افزودن بارهای , , … به یک سیستم متشکل از دو بار متوالی، می توان تأیید کرد که در مورد n بار ثابت، انرژی برهمکنش سیستم بارهای نقطه ای برابر است با

پتانسیل ایجاد شده در نقطه ای که بار توسط همه بارها به جز i-امین بار در آن قرار دارد کجاست.

2. انرژی یک هادی منفرد باردار.بگذارید یک هادی منفرد وجود داشته باشد که بار، ظرفیت و پتانسیل آن به ترتیب برابر با q، C، . بیایید بار این هادی را dq افزایش دهیم. برای انجام این کار، لازم است شارژ dq را از بینهایت به یک هادی ایزوله منتقل کنید، کار را برابر با

برای شارژ یک جسم از پتانسیل صفر تا، باید کار کرد

انرژی یک هادی باردار برابر با کاری است که برای شارژ این هادی باید انجام شود:

فرمول (8.12.3.) را نیز می توان از این واقعیت به دست آورد که پتانسیل هادی در تمام نقاط آن یکسان است، زیرا سطح هادی هم پتانسیل است. با فرض پتانسیل هادی برابر با، از (8.12.1.) پیدا می کنیم

شارژ هادی کجاست

3. انرژی یک خازن باردار.مانند هر رسانای باردار، یک خازن دارای انرژی است که مطابق فرمول (8.12.3.) برابر است با

که در آن q بار خازن، C ظرفیت آن و اختلاف پتانسیل بین صفحات است.

4. انرژی میدان الکترواستاتیک.اجازه دهید فرمول (8.12.4.) را تبدیل کنیم که انرژی یک خازن تخت را از طریق بارها و پتانسیل ها بیان می کند، با استفاده از عبارت ظرفیت خازن تخت و اختلاف پتانسیل بین صفحات آن (). سپس می گیریم

که در آن V=Sd حجم خازن است. فرمول (8.12.5.) نشان می دهد که انرژی خازن از طریق کمیتی که میدان الکترواستاتیک را مشخص می کند بیان می شود - تنش E.

فرمول های (8.12.4.) و (8.12.5.) به ترتیب انرژی خازن را به هم مرتبط می کنند. با شارژروی جلدهای آن و با قدرت میدانبه طور طبیعی، این سوال در مورد محلی سازی انرژی الکترواستاتیک و اینکه حامل آن - بارها یا میدان چیست؟ پاسخ این سوال را فقط می توان با تجربه داد. الکترواستاتیک زمینه های ثابت زمان بارهای ثابت را مطالعه می کند، به عنوان مثال. در آن زمینه ها و اتهاماتی که آنها را تعیین می کند از یکدیگر تفکیک ناپذیرند. بنابراین الکترواستاتیک نمی تواند به سوالات مطرح شده پاسخ دهد. توسعه بیشتر تئوری و آزمایش نشان داد که میدان های الکتریکی و مغناطیسی متغیر با زمان می توانند به طور جداگانه وجود داشته باشند، صرف نظر از بارهایی که آنها را برانگیخته است، و در فضا به شکل امواج الکترومغناطیسی منتشر شوند. تواناانتقال انرژی این به طور قانع کننده ای نکته اصلی را تأیید می کند نظریه کوتاه برد محلی سازی انرژی در یک میدانپس چی حاملانرژی است رشته.

چگالی حجمیانرژی میدان الکترواستاتیک (انرژی در واحد حجم)

عبارت (8.12.6.) فقط برای دی الکتریک ایزوتروپیک،که برای آن رابطه زیر برقرار است: .

انرژی الکتریکی یک خازن صفحه موازی را می توان بر حسب شدت میدان بین صفحات آن بیان کرد:

جایی که
- حجم فضای اشغال شده توسط میدان، اس- مساحت پوشش ها، د- فاصله بین آنها به نظر می رسد که انرژی الکتریکی یک سیستم دلخواه از هادی های باردار و دی الکتریک ها را می توان از طریق کشش بیان کرد:

, (5)

,

و ادغام در کل فضای اشغال شده توسط میدان انجام می شود (فرض می شود که دی الکتریک همسانگرد است و
). اندازه wنشان دهنده انرژی الکتریکی در واحد حجم است. فرمول (5) دلیلی برای این فرض می‌دهد که انرژی الکتریکی نه در بارهای متقابل، بلکه در فضای پرکننده میدان الکتریکی آنها وجود دارد. در چارچوب الکترواستاتیک، این فرض را نمی توان به صورت تجربی یا از نظر تئوری اثبات کرد، اما در نظر گرفتن میدان های الکتریکی و مغناطیسی متناوب، تأیید صحت تفسیر این میدان از فرمول (5) را ممکن می سازد.

7. انرژی میدان الکتریکی (نمونه هایی از حل مسئله) انرژی برهمکنش بار

مثال 1.

انرژی الکتریکی برهمکنش بین بارهای نقطه ای واقع در راس یک مربع با ضلع را تعیین کنید آ(شکل 2 را ببینید).

راه حل.

در شکل 3، تمام فعل و انفعالات زوجی بارها به طور معمول با فلش های دو جهته نشان داده شده اند. با در نظر گرفتن انرژی تمام این فعل و انفعالات، به دست می آوریم:

.

مثال 2.

همانطور که در شکل 4 نشان داده شده است، انرژی الکتریکی برهمکنش یک حلقه باردار با یک دوقطبی واقع در محور آن را تعیین کنید. فاصله های شناخته شده آ, ل، اتهامات س, qو شعاع حلقه آر.

راه حل.

هنگام حل مسئله، باید تمام انرژی های جفت برهمکنش بارهای یک جسم (حلقه) با بارهای جسم دیگر (دوقطبی) را در نظر گرفت. انرژی برهمکنش یک بار نقطه ای qبا شارژ ستوزیع بر روی حلقه توسط مجموع تعیین می شود

,

جایی که
- بار یک قطعه حلقه بی نهایت کوچک، - فاصله از این قطعه تا شارژ q. چون همه چیز یکسان و مساوی
، آن

به طور مشابه، ما انرژی برهمکنش یک بار نقطه ای را پیدا می کنیم - qبا حلقه شارژ شده:

خلاصه کردن دبلیو 1 و دبلیو 2، برای انرژی برهمکنش حلقه با دوقطبی به دست می آوریم:

.

انرژی الکتریکی هادی های باردار

مثال 3.

زمانی که شعاع یک کره باردار یکنواخت ضریب 2 کاهش می یابد، کار نیروهای الکتریکی را تعیین کنید. شارژ کره ای q، شعاع اولیه آن آر.

راه حل.

انرژی الکتریکی یک هادی منفرد با فرمول تعیین می شود
، جایی که q– بار هادی،  – پتانسیل آن. با توجه به اینکه پتانسیل یک کره باردار یکنواخت با شعاع آربرابر است
بیایید انرژی الکتریکی آن را پیدا کنیم:

.

پس از نصف شدن شعاع کره، انرژی آن برابر می شود

.

نیروهای الکتریکی کار می کنند

.

مثال 4.

دو گوی فلزی که شعاع آنها می باشد rو 2 r، و هزینه های مربوطه 2 می باشد qو - q، در خلاء در فاصله زیادی از یکدیگر قرار دارند. اگر توپ ها با سیم نازک به هم وصل شوند انرژی الکتریکی سیستم چند برابر کاهش می یابد؟

راه حل.

پس از اتصال توپ ها با سیم نازک، پتانسیل آنها یکسان می شود

,

و بارهای ثابت توپ ها س 1 و س 2 در نتیجه جریان بار از یک توپ به توپ دیگر به دست می آید. در این حالت، بار کل توپ ها ثابت می ماند:

.

از این معادلات در می یابیم

,
.

انرژی توپ ها قبل از اینکه با سیم به هم وصل شوند برابر است با

,

و بعد از اتصال

.

جایگزینی مقادیر به آخرین عبارت س 1 و س 2، پس از تبدیل های ساده به دست می آوریم

.

مثال 5.

در یک توپ ادغام شد ن= 8 گلوله جیوه یکسان که هر کدام دارای شارژ هستند q. با فرض اینکه در حالت اولیه توپ های جیوه در فاصله زیادی از یکدیگر قرار داشتند، مشخص کنید که انرژی الکتریکی سیستم چند برابر شده است.

راه حل.

هنگامی که کره های جیوه با هم ادغام می شوند، بار و حجم کل آنها حفظ می شود:

,

جایی که س- شارژ توپ، آر- شعاع آن، rشعاع هر توپ جیوه ای کوچک است. کل انرژی الکتریکی نتوپ های انفرادی برابر است با

.

انرژی الکتریکی توپ حاصل

.

پس از تبدیل های جبری به دست می آوریم

= 4.

مثال 6.

توپ شعاع فلزی آر= 1 میلی متر و شارژ q= 0.1 nC از فاصله دور به آرامی به یک هادی بدون بار نزدیک می شوند و زمانی که پتانسیل توپ برابر با  = 450 V شد متوقف می شوند. برای این کار چقدر باید کار کرد؟

راه حل.

انرژی الکتریکی یک سیستم از دو هادی باردار با فرمول تعیین می شود

,

جایی که q 1 و q 2 - بار هادی ها،  1 و  2 - پتانسیل آنها. از آنجایی که هادی با توجه به مشکل شارژ نمی شود، پس

,

جایی که q 1 و 1 بار و پتانسیل توپ. هنگامی که توپ و هادی بدون بار در فاصله زیادی از یکدیگر قرار دارند،

,

و انرژی الکتریکی سیستم

.

در حالت نهایی سیستم، زمانی که پتانسیل توپ برابر با  شود، انرژی الکتریکی سیستم برابر است با:

.

کار نیروهای خارجی برابر است با افزایش انرژی الکتریکی:

= -0.0225 µJ.

توجه داشته باشید که میدان الکتریکی در حالت نهایی سیستم توسط بارهای القا شده بر روی هادی و همچنین بارهایی که به طور غیریکنواخت روی سطح توپ فلزی توزیع می شوند ایجاد می شود. محاسبه این میدان با هندسه شناخته شده هادی و موقعیت مشخصی از توپ فلزی بسیار دشوار است. ما نیازی به انجام این کار نداشتیم، زیرا مشکل پیکربندی هندسی سیستم را مشخص نمی کند، بلکه پتانسیل توپ را در حالت نهایی مشخص می کند.

مثال 7 .

این سیستم از دو پوسته فلزی نازک متحدالمرکز با شعاع تشکیل شده است آر 1 و آر 2 (
و هزینه های مربوطه q 1 و q 2. انرژی الکتریکی را پیدا کنید دبلیوسیستم های. همچنین مورد خاص زمانی را در نظر بگیرید
.

راه حل.

انرژی الکتریکی یک سیستم از دو هادی باردار با فرمول تعیین می شود

.

برای حل مسئله، باید پتانسیل های حوزه داخلی ( 1) و خارجی ( 2) را پیدا کرد. انجام این کار دشوار نیست (به بخش مربوطه کتابچه راهنمای کاربر مراجعه کنید):

,
.

با جایگزینی این عبارات در فرمول انرژی، دریافت می کنیم

.

در
انرژی برابر است

.

این یک کمیت فیزیکی است که از نظر عددی برابر با نسبت انرژی میدان پتانسیل موجود در یک عنصر حجمی به این حجم است. برای یک میدان یکنواخت، چگالی انرژی حجمی برابر است. برای یک خازن تخت که حجم آن Sd است، که در آن S مساحت صفحات، d فاصله بین صفحات، داریم.

با توجه به اینکه

مدار RC- مدار الکتریکی متشکل از یک خازن و یک مقاومت. می تواند متمایز کننده و ادغام کننده باشد. این اتصال یک مقاومت و یک خازن نامیده می شود زنجیره افتراقیا زنجیره کوتاه کردن.

هنگامی که یک پالس ولتاژ به ورودی مدار RC اعمال می شود، خازن بلافاصله با جریان عبوری از آن و مقاومت شروع به شارژ شدن می کند. در ابتدا جریان حداکثر خواهد بود، سپس با افزایش شارژ خازن، به تدریج به صورت تصاعدی به صفر کاهش می یابد. هنگامی که جریان از یک مقاومت عبور می کند، یک افت ولتاژ در سراسر آن تشکیل می شود که به صورت تعریف می شود U=i R، جایی که i جریان شارژ خازن است. از آنجایی که جریان به صورت تصاعدی تغییر می کند، ولتاژ نیز تغییر خواهد کرد - به صورت نمایی از حداکثر به صفر. افت ولتاژ در مقاومت دقیقاً خروجی است. مقدار آن را می توان با فرمول تعیین کرد U out = U 0 e -t/τ. اندازه τ تماس گرفت ثابت زمان مدارو مربوط به تغییر ولتاژ خروجی 63 درصد نسبت به ولتاژ اصلی است (e -1 = 0.37). بدیهی است که زمان تغییر ولتاژ خروجی به مقاومت مقاومت و ظرفیت خازن بستگی دارد و بر این اساس، ثابت زمانی مدار با این مقادیر متناسب است، یعنی. τ = RC. اگر ظرفیت خازنی بر حسب فاراد باشد، مقاومت بر حسب اهم است، پس τ بر حسب ثانیه است.

اگرمقاومت و خازن را عوض کنید، دریافت می کنیم مدار یکپارچهیا زنجیره گسترش.

ولتاژ خروجی در مدار یکپارچه، ولتاژ دو طرف خازن است. طبیعتاً اگر خازن دشارژ شود برابر با صفر است. هنگامی که یک پالس ولتاژ به ورودی مدار اعمال می شود، خازن شروع به جمع آوری شارژ می کند و بر این اساس انباشتگی بر اساس قانون نمایی رخ می دهد، ولتاژ روی آن به صورت تصاعدی از صفر به مقدار حداکثر آن افزایش می یابد. مقدار آن را می توان با فرمول تعیین کرد U out = U 0 (1 - e -t/τ). ثابت زمانی زنجیره با همان فرمولی که برای زنجیره متمایزکننده تعیین می‌شود و به همان معنی است.

برای هر دو مدار، مقاومت جریان شارژ خازن را محدود می کند، بنابراین هر چه مقاومت آن بیشتر باشد، زمان شارژ خازن بیشتر می شود. همچنین برای یک خازن، هرچه ظرفیت خازن بزرگتر باشد، مدت زمان بیشتری برای شارژ شدن نیاز دارد.

جریان الکتریکی: انواع

دی سی

جریان مستقیم جریان الکتریکی است که در طول زمان تغییر جهت نمی دهد. منابع جریان مستقیم سلول های گالوانیکی، باتری ها و ژنراتورهای جریان مستقیم هستند.

جریان متناوب

جریان متناوب یک جریان الکتریکی است که مقدار و جهت آن در طول زمان تغییر می کند. دامنه کاربرد جریان متناوب بسیار گسترده تر از جریان مستقیم است. این به این دلیل است که ولتاژ AC را می توان به راحتی با استفاده از ترانسفورماتور، تقریباً در هر محدوده ای، کاهش یا افزایش داد. انتقال جریان متناوب در مسافت های طولانی آسان تر است.

میدان الکتریکی یکی از دو جزء میدان الکترومغناطیسی است که یک میدان برداری است که در اطراف اجسام یا ذرات با بار الکتریکی وجود دارد و همچنین هنگام تغییر میدان مغناطیسی (مثلاً در امواج الکترومغناطیسی) ایجاد می‌شود. میدان الکتریکی مستقیماً قابل مشاهده نیست، اما به دلیل تأثیر نیرومند آن بر اجسام باردار قابل تشخیص است.

برای تعیین کمی میدان الکتریکی، یک مشخصه نیرو معرفی می‌شود - قدرت میدان الکتریکی - یک کمیت فیزیکی بردار برابر با نسبت نیرویی که میدان بر روی بار آزمایشی مثبتی که در یک نقطه معین از فضا قرار می‌گیرد، به قدر عمل می‌کند. این اتهام جهت بردار کشش در هر نقطه از فضا با جهت نیروی وارد بر بار آزمایش مثبت منطبق است.

در فیزیک کلاسیک، در هنگام در نظر گرفتن برهمکنش های بزرگ مقیاس (بزرگتر از اندازه یک اتم)، میدان الکتریکی به عنوان یکی از اجزای یک میدان الکترومغناطیسی واحد و مظهر برهمکنش الکترومغناطیسی در نظر گرفته می شود. در الکترودینامیک کوانتومی، جزء برهمکنش الکترو ضعیف است.

در فیزیک کلاسیک، سیستم معادلات ماکسول، برهمکنش میدان الکتریکی، میدان مغناطیسی و تأثیر بارها بر این سیستم میدان‌ها را توصیف می‌کند.

اثر اصلی میدان الکتریکی، اثر نیرو بر اجسام باردار الکتریکی یا ذراتی است که نسبت به ناظر بی حرکت هستند. در بارهای متحرک

میدان مغناطیسی (جزء دوم نیروی لورنتس) نیز یک اثر نیرو اعمال می کند.

انرژی میدان الکتریکی میدان الکتریکی دارای انرژی است. چگالی این انرژی با شدت میدان تعیین می شود و با استفاده از فرمول می توان آن را یافت

که در آن E قدرت میدان الکتریکی است، D القای میدان الکتریکی است.

برای میدان های الکتریکی و مغناطیسی، انرژی آنها با مجذور شدت میدان متناسب است. به طور دقیق، اصطلاح "انرژی میدان الکترومغناطیسی" کاملاً صحیح نیست. محاسبه انرژی کل میدان الکتریکی حتی یک الکترون به مقداری برابر با بی نهایت منجر می شود، زیرا انتگرال مربوطه (به زیر مراجعه کنید) واگرا می شود. انرژی نامتناهی میدان یک الکترون کاملاً محدود یکی از مسائل نظری الکترودینامیک کلاسیک است. در عوض، در فیزیک معمولاً از مفهوم چگالی انرژی یک میدان الکترومغناطیسی (در یک نقطه مشخص در فضا) استفاده می کنند. انرژی کل میدان برابر است با انتگرال چگالی انرژی در کل فضا.

چگالی انرژی میدان الکترومغناطیسی حاصل جمع چگالی انرژی میدان های الکتریکی و مغناطیسی است. در سیستم SI.