10 کیسه در یکی از سکه های تقلبی. معما در مورد سکه های تقلبی تمرینات روانشناختی برای تمرین
هر یک از 10 کیسه حاوی 10 سکه است. وزن هر سکه 10 گرم است، اما در یک کیسه، همه سکه ها تقلبی هستند - هر کدام 10 گرم نیستند. 3) m و غیره) آیا سکه های تقلبی وجود دارد (همه کیسه ها از 1 تا 10 شماره گذاری شده اند)؟ کیسه ها را می توان باز کرد و هر تعداد سکه را می توان از هر کدام بیرون کشید.
پاسخ
باید از کیف اول یک سکه، از دومی دو تا، از سومی سه سکه و غیره بردارید. (از کیسه دهم - هر ده سکه). در مرحله بعد، تمام این سکه ها باید یک بار با هم وزن شوند. اگر در بین آنها سکه های تقلبی وجود نداشت، یعنی. وزن همه آنها 10 گرم است، سپس وزن کل آنها 550 گرم است، اما از آنجایی که در بین سکه های وزن شده (هر کدام 11 گرم) وجود دارد، وزن کل آنها بیش از 550 گرم خواهد بود 551 گرم، سپس سکه ها تقلبی هستند در کیسه اول، زیرا ما یک سکه از آن برداشتیم، که اگر وزن کل 552 گرم باشد، سکه های تقلبی در کیسه دوم هستند، زیرا ما برداشتیم دو سکه از آن اگر وزن کل 553 گرم باشد، سکه های تقلبی در کیسه سوم و غیره هستند. بنابراین، تنها با یک توزین می توان به دقت تعیین کرد که کدام کیسه حاوی سکه های تقلبی است.
ده کیسه
10 کیسه سکه وجود دارد. تمام سکه های موجود در یک کیسه تقلبی است. وزن یک سکه اصل 10 گرم و یک سکه تقلبی 9 گرم است. چگونه می توانید یک کیسه سکه های تقلبی را با استفاده از یک توزین در ترازو مدرج شناسایی کنید؟
راه حل
ابتدا باید همه کیسه ها را از 1 تا 10 شماره گذاری کنید، سپس باید از هر کیسه به اندازه شماره سریال آن (از 1 تا 10) سکه بردارید. اگر همه سکه ها واقعی بودند، وزن توده سکه ها 550 گرم (1 + 2 + 3 ... + 10) * 10 = 550 بود. اگر کیسه سکه های تقلبی دارای عدد N باشد (N = از 1 تا 10). ) سپس با برداشتن از کیسه ها، وزن سکه ها N گرم کمتر خواهد بود، بنابراین، انبوه سکه های گرفته شده N گرم وزن کمتری خواهند داشت. آن ها چند گرم وزن یک توده با 550 گرم متفاوت است، چنین کیسه ای حاوی سکه های تقلبی است.
هشت کیسه
شما 8 کیسه سکه دارید که هر کیسه حاوی 48 سکه است. پنج کیسه حاوی سکه های واقعی و بقیه حاوی سکه های تقلبی هستند. سکه های تقلبی 1 گرم سبک تر از سکه های واقعی هستند. با یک وزن کشی روی ترازو دقیق، همه کیسه های سکه های تقلبی را با حداقل تعداد سکه شناسایی کنید.
راه حل
نیازی به گرفتن سکه از کیسه اول نیست (0)، از کیسه دوم باید یک سکه (1)، از سومی دو (2)، از چهارم - چهار (4)، از پنجمین - هفت (7)، از ششم - سیزده (13)، هفتم - بیست و چهار (24)، هشتم - چهل و چهار (44). هر سه "تپه" سکه، با هم، از این نظر منحصر به فرد هستند که وزن دقیق مشخصی دارند و به فرد امکان می‌دهند کیسه‌های سکه‌های تقلبی (در مجموع ۹۵ سکه) را شناسایی کنند. اگر تمام سکه های موجود در راه حل پیشنهادی واقعی باشند، وزن کل آنها 95 مکعب خواهد بود. (0+1+2+4+7+13+24+44). خوانش مقیاس را با آنچه که اگر همه سکه ها واقعی بودند در حالت ایده آل مقایسه کنید. تفاوت حاصل (تعداد واحدهای معمولی) تعداد کیسه های دارای سکه های تقلبی را نشان می دهد. به عنوان مثال، اگر اختلاف 21 باشد، سکه های کیسه های دوم، پنجم و ششم تقلبی هستند، زیرا از آنها بود که 21 سکه (1+7+13) گرفتیم.
توپ های کریسمس
سه جفت توپ روی درخت سال نو آویزان است: دو تا سفید، دو آبی و دو تا قرمز. از نظر بیرونی توپ ها یکسان هستند. با این حال، هر جفت دارای یک توپ سبک و یک توپ سنگین است. وزن همه توپ های سبک و همه توپ های سنگین یکسان است. با استفاده از دو ترازو فنجانی، تمام توپ های سبک و سنگین را مشخص کنید.
راه حل
یک توپ قرمز و یک توپ سفید را در ترازو سمت چپ و یک توپ آبی و یک توپ سفید را در ترازو سمت راست قرار دهید. اگر تعادل حاصل شود، واضح است که روی هر کاسه یک توپ سنگین و یک توپ سبک وجود دارد. بنابراین کافی است دو توپ سفید را با هم مقایسه کنیم تا پاسخ سوال مورد علاقه خود را دریابیم. با این حال، اگر پس از اولین وزن تعادل حاصل نشد، در سمت سنگین تر، یک توپ سفید سنگین قرار دارد. مرحله منطقی بعدی مقایسه وزن توپ قرمزی است که قبلا وزن شده و توپ آبی که هنوز وزن نشده است. بعد از این برای شما مشخص می شود که کدام توپ سبک و کدام یک سنگین است.
نه کیسه
نه کیسه وجود دارد: هشت کیسه با ماسه و یکی با طلا. کیسه طلا کمی سنگین تر است. به شما دو وزنه روی ترازو می دهند تا کیسه طلا را پیدا کنید.
راه حل
نه کیسه را به سه گروه سه کیسه ای تقسیم کنید. دو گروه را وزن کنید. به این ترتیب متوجه خواهید شد که کیسه طلا در کدام گروه قرار دارد. حالا 2 کیسه از گروهی که حتما حاوی یک کیسه طلاست انتخاب کنید و وزن کنید.
27 توپ تنیس
27 توپ تنیس وجود دارد. وزن 26 یکسان است، اما 27 ام کمی سنگین تر است. حداقل تعداد توزین روی ترازو جامی که تضمین می کند یک توپ سنگین پیدا می شود چقدر است؟
راه حل
کافی است سه بار از ترازو استفاده کنید. 27 توپ را به 3 گروه 9 تایی تقسیم کنید. دو گروه را با هم مقایسه کنید - توپ سنگین در گروهی قرار می گیرد که بیشتر از آن است. اگر ترازو به تعادل رسیده باشد، توپ سنگین در گروه سوم قرار می گیرد. بدین ترتیب یک گروه 9 تایی را تعریف می کنیم که یکی از آنها توپ مورد نظر است. این گروه را به 3 زیر گروه تقسیم کنید که هر کدام سه توپ دارد. مشابه مرحله اول، وزن هر دو زیر گروه را مقایسه کنید. حالا دو توپ را با هم مقایسه کنید (دو تا از سه توپ که حتما باید یکی از آنها باشد).
وزن شکسته
یک تاجر وزنه 40 پوندی را انداخت و به 4 قطعه نابرابر تقسیم شد. وقتی این قطعات وزن شدند، معلوم شد که وزن هر یک از آنها (به پوند) یک عدد صحیح است. علاوه بر این، این قطعات را می توان برای وزن کردن هر وزنی (به نمایندگی از یک عدد کامل) تا 40 پوند در یک ترازو استفاده کرد. وزن هر قسمت چقدر بود؟
راه حل
وزن قطعات: 1 پوند، 3 پوند، 9 پوند و 27 پوند، برای مجموع 40 پوند.
میخ در کیسه
در یک کیسه 24 کیلوگرم میخ وجود دارد. چگونه می توان 9 کیلوگرم میخ را در ترازو فنجانی بدون وزنه اندازه گیری کرد؟
راه حل
یک گزینه: 24 کیلوگرم را به دو قسمت مساوی 12 کیلوگرمی تقسیم کنید و آنها را روی ترازو متعادل کنید. سپس 12 کیلوگرم را به دو قسمت مساوی 6 کیلوگرمی تقسیم کنید. پس از این، یک قسمت را کنار بگذارید و قسمت دیگر را به همین ترتیب به قطعات 3 کیلوگرمی تقسیم کنید. در نهایت این 3 کیلوگرم را به قسمت شش کیلویی اضافه کنید. نتیجه 9 کیلوگرم میخ خواهد بود.
ده کیسه
10 کیسه سکه وجود دارد. تمام سکه های موجود در یک کیسه تقلبی است. وزن یک سکه اصل 10 گرم و یک سکه تقلبی 9 گرم است. چگونه می توانید یک کیسه سکه های تقلبی را با استفاده از یک توزین در ترازو مدرج شناسایی کنید؟
ابتدا باید همه کیسه ها را از 1 تا 10 شماره گذاری کنید، سپس باید از هر کیسه به اندازه شماره سریال آن (از 1 تا 10) سکه بردارید. اگر همه سکه ها واقعی بودند، وزن توده سکه ها 550 گرم (1 + 2 + 3 ... + 10) * 10 = 550 بود. اگر کیسه سکه های تقلبی دارای عدد N باشد (N = از 1 تا 10). ) سپس با برداشتن از کیسه ها، وزن سکه ها N گرم کمتر خواهد بود، بنابراین، انبوه سکه های گرفته شده N گرم وزن کمتری خواهند داشت. آن ها چند گرم وزن یک توده با 550 گرم متفاوت است، چنین کیسه ای حاوی سکه های تقلبی است.
هشت کیسه
شما 8 کیسه سکه دارید که هر کیسه حاوی 48 سکه است. پنج کیسه حاوی سکه های واقعی و بقیه حاوی سکه های تقلبی هستند. سکه های تقلبی 1 گرم سبک تر از سکه های واقعی هستند. با یک وزن کشی روی ترازو دقیق، همه کیسه های سکه های تقلبی را با حداقل تعداد سکه شناسایی کنید.
نیازی به گرفتن سکه از کیسه اول نیست (0)، از کیسه دوم باید یک سکه (1)، از سومی دو (2)، از چهارم - چهار (4)، از پنجمین - هفت (7)، از ششم - سیزده (13)، هفتم - بیست و چهار (24)، هشتم - چهل و چهار (44). هر سه "تپه" سکه، با هم، از این نظر منحصر به فرد هستند که وزن دقیق مشخصی دارند و به فرد امکان می‌دهند کیسه‌های سکه‌های تقلبی (در مجموع ۹۵ سکه) را شناسایی کنند. اگر تمام سکه های موجود در راه حل پیشنهادی واقعی باشند، وزن کل آنها 95 مکعب خواهد بود. (0+1+2+4+7+13+24+44). خوانش مقیاس را با آنچه که اگر همه سکه ها واقعی بودند در حالت ایده آل مقایسه کنید. تفاوت حاصل (تعداد واحدهای معمولی) تعداد کیسه های دارای سکه های تقلبی را نشان می دهد. به عنوان مثال، اگر اختلاف 21 باشد، سکه های کیسه های دوم، پنجم و ششم تقلبی هستند، زیرا از آنها بود که 21 سکه (1+7+13) گرفتیم.
توپ های کریسمس
سه جفت توپ روی درخت سال نو آویزان است: دو تا سفید، دو آبی و دو تا قرمز. از نظر بیرونی توپ ها یکسان هستند. با این حال، هر جفت دارای یک توپ سبک و یک توپ سنگین است. وزن همه توپ های سبک و همه توپ های سنگین یکسان است. با استفاده از دو ترازو فنجانی، تمام توپ های سبک و سنگین را مشخص کنید.
یک توپ قرمز و یک توپ سفید را در ترازو سمت چپ و یک توپ آبی و یک توپ سفید را در ترازو سمت راست قرار دهید. اگر تعادل حاصل شود، واضح است که روی هر کاسه یک توپ سنگین و یک توپ سبک وجود دارد. بنابراین کافی است دو توپ سفید را با هم مقایسه کنیم تا پاسخ سوال مورد علاقه خود را دریابیم. با این حال، اگر پس از اولین وزن تعادل حاصل نشد، در سمت سنگین تر، یک توپ سفید سنگین قرار دارد. مرحله منطقی بعدی مقایسه وزن توپ قرمزی است که قبلا وزن شده و توپ آبی که هنوز وزن نشده است. بعد از این برای شما مشخص می شود که کدام توپ سبک و کدام یک سنگین است.
نه کیسه
نه کیسه وجود دارد: هشت کیسه با ماسه و یکی با طلا. کیسه طلا کمی سنگین تر است. به شما دو وزنه روی ترازو می دهند تا کیسه طلا را پیدا کنید.
نه کیسه را به سه گروه سه کیسه ای تقسیم کنید. دو گروه را وزن کنید. به این ترتیب متوجه خواهید شد که کیسه طلا در کدام گروه قرار دارد. حالا 2 کیسه از گروهی که حتما حاوی یک کیسه طلاست انتخاب کنید و وزن کنید.
27 توپ تنیس
27 توپ تنیس وجود دارد. وزن 26 یکسان است، اما 27 ام کمی سنگین تر است. حداقل تعداد توزین روی ترازو جامی که تضمین می کند یک توپ سنگین پیدا می شود چقدر است؟
کافی است سه بار از ترازو استفاده کنید. 27 توپ را به 3 گروه 9 تایی تقسیم کنید. دو گروه را با هم مقایسه کنید - توپ سنگین در گروهی قرار می گیرد که بیشتر از آن است. اگر ترازو به تعادل رسیده باشد، توپ سنگین در گروه سوم قرار می گیرد. بدین ترتیب یک گروه 9 تایی را تعریف می کنیم که یکی از آنها توپ مورد نظر است. این گروه را به 3 زیر گروه تقسیم کنید که هر کدام سه توپ دارد. مشابه مرحله اول، وزن هر دو زیر گروه را مقایسه کنید. حالا دو توپ را با هم مقایسه کنید (دو تا از سه توپ که حتما باید یکی از آنها باشد).
وزن شکسته
یک تاجر وزنه 40 پوندی را انداخت و به 4 قطعه نابرابر تقسیم شد. وقتی این قطعات وزن شدند، معلوم شد که وزن هر یک از آنها (به پوند) یک عدد صحیح است. علاوه بر این، این قطعات را می توان برای وزن کردن هر وزنی (که یک عدد کامل را نشان می دهد) تا 40 پوند در یک ترازو استفاده کرد. وزن هر قسمت چقدر بود؟
وزن قطعات: 1 پوند، 3 پوند، 9 پوند و 27 پوند، در مجموع 40 پوند.
میخ در کیسه
در یک کیسه 24 کیلوگرم میخ وجود دارد. چگونه می توان 9 کیلوگرم میخ را روی ترازو فنجانی بدون وزنه اندازه گیری کرد؟
یک گزینه: 24 کیلوگرم را به دو قسمت مساوی 12 کیلوگرمی تقسیم کنید و آنها را روی ترازو متعادل کنید. سپس 12 کیلوگرم را به دو قسمت مساوی 6 کیلوگرمی تقسیم کنید. پس از این، یک قسمت را کنار بگذارید و قسمت دیگر را به همین ترتیب به قطعات 3 کیلوگرمی تقسیم کنید. در آخر این 3 کیلو را به قسمت شش کیلویی اضافه کنید. نتیجه 9 کیلوگرم میخ خواهد بود.
ده کلاه
ده کلاه شماره دار روی میز است. هر کلاه حاوی ده سکه طلا است. یکی از کلاه ها حاوی سکه های تقلبی است. یک سکه واقعی 10 گرم وزن دارد و یک سکه تقلبی فقط 9. ترازو با ترازو بر حسب گرم برای کمک به شما ارائه شده است. چگونه با استفاده از ترازو برای یک توزین مشخص کنیم که کدام کلاه حاوی سکه های تقلبی است؟ وزن ترازو نمی تواند بیش از 750 گرم باشد.
از کلاه اول 1 سکه، از دومی 2 عدد، از سومی 3 عدد و غیره می گیریم. همه اینها را وزن کرده و نتیجه را از وزن ایده آل (در مورد ما 55 × 10 = 550 گرم) کم می کنیم. عدد به دست آمده با شماره کلاه با سکه های تقلبی مطابقت دارد.
81 سکه
81 سکه با همان ارزش وجود دارد. یکی از آنها تقلبی است و از سکه واقعی سبکتر است. چگونه می توانید این سکه را با استفاده از چهار توزین روی ترازو تابه پیدا کنید؟
لازم است هر بار کل حجم سکه ها را به 3 شمع مساوی تقسیم کرده و 2 عدد از آنها را وزن کنید. اگر وزن کپه ها مساوی باشد، سکه مورد نظر در کپه سوم است، اما اگر یکی از دو کپه سبکتر باشد، سکه تقلبی در آن است. در مرحله بعد، کپه پیدا شده را باید به 3 قسمت تقسیم کرد و هر 2 عدد را توزین کرد. اندازه گیری می شوند و در توزین چهارم یکی روی ترازو قرار می گیرد.
ترازو پازل
در دو تصویر، ترازو در حالت تعادل است. به نظر شما چند گلابی باید برای متعادل کردن شش پرتقال در ترازو سوم استفاده شود؟
مقیاس اول نشان می دهد که وزن 2 سیب + 1 پرتقال به اندازه یک گلابی است. مقیاس دوم نشان می دهد که 2 سیب + 2 پرتقال = 6 سیب، یعنی. 2 پرتقال معادل 4 سیب یا 1 پرتقال = 2 سیب است. بر اساس داده های مقیاس اول و دوم متوجه می شویم که 1 گلابی برابر با 4 سیب یا 2 پرتقال است. از این رو، 6 پرتقال با 3 گلابی متعادل می شود.
در دو تصویر، ترازو در حالت تعادل است. به نظر شما از چند عدد گلابی برای متعادل کردن دو سیب و یک پرتقال باید استفاده کرد؟
با توجه به داده های مقیاس دوم، مشخص است که یک سیب برابر با یک گلابی و یک پرتقال است. اگر این داده ها را در مقیاس های اول جایگزین کنیم، متوجه می شویم که دو پرتقال برابر با یک پرتقال و دو گلابی است، بنابراین، یک پرتقال برابر با دو گلابی است. با جایگزینی دو گلابی به جای پرتقال در مقیاس دوم، متوجه می شویم که یک سیب برابر با سه گلابی است. از این رو، برای متعادل کردن ترازو سوم، 8 گلابی مورد نیاز است.
در دو تصویر، ترازو در حالت تعادل است. به نظر شما برای تعادل دو سیب و دو پرتقال باید از چند گلابی استفاده کرد؟
لازم است میوه را در مقیاس اول سه برابر افزایش دهید، 12 گلابی + 3 سیب = 15 پرتقال دریافت می کنید. در ترازو دوم وزن 3 سیب = 3 پرتقال و 6 گلابی را می دانیم، آنها را به جای 3 سیب به ترازو اول منتقل می کنیم. می گیریم: 18 گلابی = 12 پرتقال یا 3 گلابی = 2 پرتقال. بعد، مقیاس های B را در 2 ضرب کنید. به دست می آید: 6 سیب = 6 پرتقال + 12 گلابی. اگر 6 پرتقال را با معادل گلابی جایگزین کنیم، به دست می آید: 6 سیب = 21 گلابی یا 2 سیب = 7 گلابی. بنابراین، 2 سیب + 2 پرتقال = 7 گلابی + 3 گلابی = 10 گلابی.
برای تعادل ترازو در تصویر آخر چند پرتقال لازم است؟ اقلام را فقط می توان به سمت راست ترازو تحویل داد.
برای متعادل کردن ترازو به 5 پرتقال نیاز دارید.
شکر در کیسه ها
دو کیسه وجود دارد که یکی خالی و دیگری حاوی 9 کیلوگرم شکر است. چگونه می توان شکر را به نسبت 2 کیلوگرم در یک کیسه و 7 کیلوگرم در کیسه دیگر در 3 توزین در یک ترازو با وزنه های 50 گرمی و 200 گرمی در کیسه ها توزیع کرد؟
1. لازم است شکر را در کیسه ها به 2 قسمت مساوی 4.5 کیلوگرم وزن کنید. 2. شکر را در یک کیسه دوباره به دو نیم تقسیم کرده و هر کدام 2.25 کیلوگرم را در کیسه ها بریزید (یک کیسه حاوی 2.25 کیلوگرم و دیگری حاوی 6.75 کیلوگرم). 3. با استفاده از دو وزن مجموعاً 250 گرم، 250 گرم شکر را از کیسه 2.25 کیلوگرمی جدا کرده و به کیسه دیگری منتقل کنید. در نتیجه، یک کیسه حاوی 7 کیلوگرم و دیگری 2 کیلوگرم شکر خواهد بود.
4 سکه
4 عدد سکه است که یکی از آنها تقلبی است و از نظر وزن با اصل تفاوت دارد. چگونه سکه تقلبی را بعد از ۲ بار وزن کردن روی ترازو پیاله تشخیص دهیم؟
سکه های 1 و 2 را روی ترازو بگذاریم: 1) اگر متعادل نیستند، دومی را بردارید و سومی را در جای خود قرار دهید. اگر ترازو متعادل باشد، سکه 2 تقلبی است. اگر ترازو تعادل نداشته باشد، سکه 1 تقلبی است. 2) ترازو متعادل است سپس سکه 2 را برمی داریم و سکه 3 را به جای آن می گذاریم اگر ترازو متعادل باشد سکه تقلبی 4 می شود.
دو وزنه
ترازوهای استاندارد با فنجان و دو وزن 10 و 2 کیلوگرمی وجود دارد. چگونه می توان از آنها برای وزن 3 کیلوگرم آلو استفاده کرد؟
ابتدا 2 کیلوگرم آلو را وزن کنید. سپس آنها را به طور مساوی بین ترازوها تقسیم می کنیم تا ترازو متعادل شود. 1 کیلوگرم آلو دریافت شد. یک کیلوگرم و یک وزنه 2 کیلوگرمی را نام ببرید، می توانید هر مقدار دلخواه از جمله 3 کیلوگرم را اندازه گیری کنید.
68 سکه
68 سکه وجود دارد که وزن همه آنها متفاوت است. چگونه در 100 توزین سبک ترین و سنگین ترین را پیدا کنیم؟
تمام سکه ها را دو به دو وزن می کنیم، سکه های سبک را در یک شمع، سکه های سنگین را در یک دسته دیگر، در مجموع 34 توزین می زنیم. در شمع اول، تمام سکه ها را با سبک ترین سکه در لحظه وزن می کنیم، یعنی. اگر سبک تری پیدا شد سکه های بعدی را با آن وزن می کنند و به همین ترتیب 33 بار. با شمع مناسب - همان چیزی است، اما ما فقط سنگین ترین سکه را شناسایی می کنیم، همچنین 33 وزن. مجموع - دقیقا 100 توزین.
فلس های آسیب دیده
در میان 100 سکه با ظاهر یکسان، چندین سکه تقلبی وجود دارد. وزن تمام سکه های تقلبی یکسان است، تمام سکه های واقعی یکسان هستند و سکه های تقلبی سبک تر از واقعی هستند. ترازو نیز وجود دارد (با دو کاسه بدون اشاره گر)، هر کاسه فقط یک سکه دارد. در عین حال، ترازو کمی آسیب دیده است: اگر سکه ها وزن های متفاوتی داشته باشند، سکه سنگین تر است، اما اگر آنها یکسان باشند، هر فنجانی می تواند وزن بیشتری داشته باشد. چگونه می توان حداقل یک سکه تقلبی را با استفاده از این ترازو پیدا کرد؟
سکه ها را به 33 انبوه 3 سکه + 1 سکه تقسیم کنید. هر سه گانه را بین خود وزن می کنیم، 3 نابرابری به دست می آوریم که در نتیجه می بینیم که یا هر سکه یک بار از دو تای دیگر کمتر می شود یا دو برابر وزن آن دو سکه دیگر. 1>2 (گزینه های زیر ممکن است: n=n، f=f، 2-fake) 1<3 (н=н, ф=ф, 1- фальшивка)
2> 3 (n=n، f=f، 3-جعلی) این در صورتی امکان پذیر است که هر سه سکه بین خودشان وزن یکسانی داشته باشند، یعنی هر کدام را کنار بگذاریم 1<2(н=н,ф=ф,1-ф)
1<3(н=н,ф=ф,1-ф)
2>3(n=n,f=f,3-f) احتمال جعلی بودن 1 بیشتر است، بنابراین آن را کنار می گذاریم. و این کار را با هر یک از 33 شمع انجام می دهیم، در نتیجه 11+ سکه را کنار می گذاریم که در هیچ یک از شمع ها قرار نگرفته است. دوباره این 12 سکه را به 4 شمع از هر کدام 3 سکه تقسیم می کنیم، همان دستکاری ها را انجام می دهیم، در نتیجه 4 سکه به دست می آوریم، آنها را به 1 شمع + 1 تقسیم می کنیم، سکه از توده که سبکتر شده است دوباره کنار می گذاریم. و با یک سکه مقایسه شد. آن که سبک تر باشد کاذب خواهد بود.
80 سکه
80 عدد سکه وجود دارد که یکی از آنها تقلبی است و از بقیه سبکتر است. در چند حداقل توزین روی ترازو بدون وزنه می توانید سکه تقلبی پیدا کنید؟
سکه تقلبی در 4 توزین قابل شناسایی است. الگوریتم به شرح زیر است. توزین اول: روی کاسه ها 27 سکه بگذارید. در حالت تعادل، کاذب بین 26 تای باقی مانده است. اگر یک کاسه سبک تر باشد، کاسه کاذب روی آن 27 است. توزین دوم: روی هر دو کاسه 9 سکه از تعداد مظنون می گذاریم. و به روشی مشابه استدلال کنید. در وزن سوم روی کاسه ها 3 سکه می گذاریم و در چهارمین هر کدام یک سکه. همانطور که می بینید، در اینجا تقسیم به نصف نیست، بلکه در صورت امکان به سه قسمت مساوی است.
حکیم
زمانی که حاکم کشور تصمیم گرفت برای یک کار خوب به یک مرد باهوش پاداش دهد، می خواست به اندازه وزن یک فیل طلا بگیرد. اما چگونه می توان یک فیل را وزن کرد؟ آن روزها چنین ترازویی وجود نداشت. در چنین شرایطی به چه چیزی می رسید؟
حکیم این کار را کرد: فیل را در قایق گذاشت، سپس سطح آب را در کنار آن علامت گذاری کرد. وقتی فیل را از قایق بیرون آوردند، تنها چیزی که باقی ماند این بود که طلاها را آنجا بگذارند.
پنج مورد
پنج جسم با وزن های مختلف باید به ترتیب نزولی وزنشان چیده شوند. شما فقط می توانید از ساده ترین ترازوهای بدون وزنه استفاده کنید، که فقط به شما امکان می دهد تعیین کنید که کدام یک از دو جسم مورد مقایسه از نظر وزن سنگین تر است. چگونه باید برای حل بهینه مشکل اقدام کرد، یعنی تعداد توزین ها حداقل باشد؟ چند توزین باید انجام شود؟
اولین سنجش مقایسه هر دو مورد از پنج مورد داده شده است. بگذارید A جسم سبکتر و B جسم سنگین‌تر باشد. سپس نتیجه اولین توزین را به صورت A می نویسیم سپس دو جسم دیگر را با هم مقایسه کنید و جسم سبکتر را D و سنگین تر را با E نشان دهید: D بیایید مورد پنجم C را نشان دهیم. سومین سنجش، مقایسه اشیاء B و E است. هر دو احتمالی که در اینجا به وجود می‌آیند به استدلال مشابهی منجر می‌شوند، بنابراین ما خود را به بررسی مورد B محدود می‌کنیم. با توزین چهارم، جسم پنجم C را با جسم B مقایسه می کنیم. لازم است دو حالت را تشخیص دهیم: الف) ب قبل از میلاد مسیح در مورد اول (B آ اجازه دهید اجسام C و E را با هم مقایسه کنیم (این به وزن پنجم نیاز دارد). در اینجا نیز لازم است بین دو حالت ممکن تمایز قائل شویم: E اگر یک در مورد الف در مورد دوم (C آ بیایید موارد A و C (وزن پنجم) را با هم مقایسه کنیم. در هر دو مورد ممکن (A از آنجایی که ما تمام موارد ممکن را تمام کرده ایم، اثبات در اینجا به پایان می رسد.
دو ترازو
9 سکه یکسان وجود دارد که یکی از آنها تقلبی است و به همین دلیل از بقیه سبک تر است. ما دو ترازو بدون وزن داریم که به ما امکان می دهد وزن هر گروهی از سکه ها را با هم مقایسه کنیم. با این حال، برخی از ترازوهای موجود خام هستند و نمی توانند یک سکه تقلبی را از یک سکه واقعی تشخیص دهند. دقت آنها به آنها اجازه نمی دهد تفاوت وزن را تشخیص دهند. اما مقیاس های دیگر دقیق هستند. اما اینکه کدام ترازو خشن است و کدام دقیق مشخص نیست. در این شرایط چگونه می توان با سه توزین سکه تقلبی را شناسایی کرد؟
برای هر فنجان چهار سکه روی ترازو شماره 1 بگذاریم. اگر یک گروه از سکه ها بیشتر باشد، بقیه مشخص است - این مقیاس ها دقیق هستند و ما 4 سکه را می شناسیم که یکی از آنها تقلبی است. بگذارید ترازو در تعادل باشد. بگذارید نهمین سکه را با A نشان دهیم و سکه های B و C را به آن اضافه کنیم - از هر چهار سکه یکی. دو سه قلو سکه باقی مانده را روی ترازو شماره 2 قرار می دهیم. بدترین گزینه دوباره تعادل است. سپس در ترازو شماره 2 سکه های B و C را با هم مقایسه می کنیم. در حالت تعادل، سکه A تقلبی خواهد بود.
2000 توپ
6 وزنه با وزن 1، 2، 3، 4، 5 و 6 گرم وجود دارد. با این حال، دلیلی وجود دارد که باور کنیم یک اشتباه هنگام علامت گذاری وزنه ها انجام شده است. چگونه می توانید با استفاده از دو وزنه روی یک ترازو، که در آن می توانید وزن هر گروه از وزنه ها را با هم مقایسه کنید، تعیین کنید که آیا علامت گذاری روی وزنه ها درست است یا خیر؟
وزن‌های 1، 2 و 3 گرمی را روی یک کفه ترازو قرار می‌دهیم و 6 گرم را روی دیگری می‌گذاریم به این معنی که خطا در علامت‌گذاری فقط در گروه‌های 1-2-3 و 4-5 امکان‌پذیر است. در وزن کشی دوم روی یک کاسه وزنه های 3 و 5 گرمی و روی کاسه دیگر 6 و 1 گرمی می گذاریم، در علامت گذاری ها خطایی وجود ندارد.
8 سکه
8 سکه به ظاهر یکسان وجود دارد. یکی از آنها تقلبی است و سبکتر از واقعی شناخته شده است. چگونه می توانید یک سکه تقلبی را با تنها دو وزن در ترازو تابه پیدا کنید؟
سکه ها را به سه دسته 3، 3 و 2 سکه تقسیم می کنیم. شمع های حاوی سه سکه را وزن می کنیم. اگر وزن یکسان باشد، 2 عدد سکه از پشته سوم را بین خودشان وزن کرده و تقلبی (سبک تر) را شناسایی می کنیم. اگر یک گروه از سه سکه سبکتر از دیگری باشد، یک سکه تقلبی وجود دارد. از گروه سه سکه سبکتر خارج شده و دو سکه روی ترازو می گذاریم و طبق الگوریتم قبلی پیش می رویم: اگر وزن یکسان باشد، سومی تقلبی است و اگر نه، آنی که سبکتر است.
پازل صلاح الدین
این داستان خیلی وقت پیش و در زمان جنگ های صلیبی اتفاق افتاد. یکی از شوالیه ها توسط مسلمانان اسیر شد و در برابر رهبر آنها سلطان صلاح الدین حاضر شد و او اعلام کرد که در صورت دریافت 100 هزار سکه طلا، اسیر و اسبش را آزاد خواهد کرد. «ای صلاح الدین بزرگ»، شوالیه که یک ریال هم به نام خود نداشت، خطاب به سلطان گفت: «آخرین امید را در وطن من به اسیری دانا و مدبر می‌دهند تا آزاد شود. اگر او یک معما را حل کند، از چهار طرف آزاد می شود، اگر نه، مبلغ باج دو برابر می شود!»
صلاح الدین که خودش عاشق پازل بود، جواب داد: «دوازده سکه طلا و ترازو به شما می دهند، اما یکی از سکه ها تقلبی است یا نه سبکتر یا سنگین‌تر از وزن‌های واقعی، اگر کار را قبل از صبح کامل نکنید، باید خودتان را سرزنش کنید. تونستی بری بیرون؟
لازم است 12 سکه را به 4 توده 3 سکه ای تقسیم کنید. بیایید 2 کپه روی ترازو بگذاریم (یکی یکی در کاسه های مختلف). در این صورت دو حالت امکان پذیر است: 1) اگر ترازو تعادل نداشته باشد، سکه تقلبی در یکی از این توده ها است. شمع فندک را برمی داریم و سومی را به جای آن می گذاریم. اگر ترازو در تعادل باشد، سکه تقلبی در شمع است که از ترازو برداشته شده است. اگر ترازو در تعادل نباشد، سکه تقلبی در توده سنگین‌تر است. (تاکنون 2 توزین انجام شده است). 2) اگر ترازو بعد از اولین توزین در حالت تعادل قرار گرفت، هر شمع را بردارید و یک سومی را به جای آن قرار دهید. اگر ترازو در تعادل باشد، سکه تقلبی در شمع چهارم است. اگر ترازو در تعادل نباشد، سکه تقلبی در شمع سوم قرار دارد. (تاکنون 2 توزین انجام شده است). پس از پیدا کردن انبوهی از 3 سکه، سپس تعیین می کنیم که کدام یک از 3 سکه تقلبی است: باید 2 سکه را در توزین سوم قرار دهید و اگر در تعادل هستند، سکه سوم تقلبی است. اگر آنها تعادل ندارند، به جای یک سکه سبک تر، باید سکه سوم را قرار دهید. اگر ترازو تعادل داشته باشد، سکه تقلبی حذف می شود. اگر تعادل نداشته باشند، سکه سنگین تر تقلبی است.
20 پوند چای
چگونه 20 پوند چای را در 10 جعبه 2 پوندی هر کدام در 9 وزن، با وزنه های 5 و 9 پوندی، با استفاده از یک ترازو فنجانی معمولی وزن کنیم؟
1) یک وزنه 5 پوندی را روی یک ظرف ترازو و یک وزنه 9 پوندی را روی دیگری قرار دهید. سپس با ریختن 4 پوند چای در یک کاسه با وزن 5 پوندی، ترازو را متعادل کنید. 2) وزنه ها را از روی ترازو بردارید، 4 پوند را در یک ظرف بگذارید و با اضافه کردن 4 پوند دیگر به ترازو، ترازو را متعادل کنید. 3) دوباره 4 پوند وزن کنید. 4) و دوباره 4 پوند. بنابراین، پس از چهار وزن، باقیمانده نیز 4 پوند خواهد بود. 5-9) 4 پوند را به دو نیم تقسیم کنید و ترازو را متعادل کنید.
101 سکه
از بین 101 سکه یکسان، یکی تقلبی است و از نظر وزن متفاوت است. چگونه می توان از ترازو بدون وزنه استفاده کرد تا در دو توزین تعیین کرد که سکه تقلبی سبک تر است یا سنگین؟ نیازی به یافتن سکه تقلبی نیست.
سکه های 50 و 50 را وزن می کنیم: 1) برابری: سکه باقیمانده را می گیریم و به جای یکی از سکه های موجود در پشته سمت چپ می گذاریم 1.1 شمع سمت چپ سنگین تر است => سکه تقلبی سنگین تر است 1.2 شمع سمت چپ سبک تر است => سکه تقلبی سبک تر است 2) نابرابری: توده سنگین تر را برداشته و به دو شمع 25 سکه ای تقسیم می کنیم. 2.1 وزن شمع ها یکسان است => سکه تقلبی سبک تر است 2.2 وزن شمع ها یکسان نیست => سکه تقلبی سنگین تر است
مشکل بارون مونچاوزن
بارون مونچاوزن دارای هشت وزن ظاهراً یکسان با وزن های 1 گرم، 2 گرم، 3 گرم، 8 گرم است. آیا بارون می تواند وزنه ای را روی ترازو جام انجام دهد که در نتیجه وزن حداقل یکی از وزنه ها به طور واضح مشخص شود؟
7+8=1+2+3+4+5، باقی مانده 6.
2N سکه
سکه‌های شماره‌دار 2N وجود دارد و: وزن تمام سکه‌های واقعی یکسان است، همه سکه‌های تقلبی نیز وزن یکسانی دارند، سکه تقلبی سبکتر از واقعی است. سکه های دارای اعداد از 1 تا N واقعی و سکه های دارای اعداد N+1 تا 2N جعلی هستند. از این دو قول، قاضی فقط اولی را می داند و کارشناس هر دو را. چگونه یک کارشناس می تواند پس از سه بار وزن کردن روی ترازو بدون وزنه، قاضی را به صحت گزاره دوم متقاعد کند؟
الف: N=7
b: N=9
مسئله "الف" در یکی از المپیادهای ریاضی سراسری در دهه 1970 مطرح شد. از آن زمان، N=7 (و به طور کلی، N=2^K-1 برای وزن K) غیر قابل بهبود در نظر گرفته شده است. و با این حال، این مورد نیست. بهبود (مسئله "ب") توسط S. Tokarev در سال 1997 اختراع شد.
الف) 1) کارشناس سکه های 1 و 8 را وزن می کند. (1 > 8) قاضی متقاعد شده است که 8 نادرست است. 2) وزن کارشناس 1+8 و 9+10. (1+8 > 9+10) قاضی متقاعد شده است که 9+10 آسان تر از یک جعلی و یکی واقعی است. بنابراین نتیجه می گیرد که هم 9 و هم 10 نادرست است. 3) وزن کارشناس 1+8+9+10 و 11+12+13+14. به همین ترتیب، قاضی می تواند در مورد تمام سکه های 11-14 قضاوت کند. توجه داشته باشید که دقیقاً یک سکه واقعی مورد نیاز است. ب) اقدام مقدماتی: کارشناس سکه ها را به سه شمع زیر گروه بندی می کند: الف (1، 2؛ 10، 11). ب (3، 4، 5؛ 12، 13، 14)؛ ب (6، 7، 8، 9؛ 15، 16، 17، 18)؛ هر شمع دارای تعداد مساوی سکه واقعی و تقلبی است که این موضوع برای کارشناس معلوم است اما در نتیجه وزن کردن برای قاضی ثابت می شود. 1) سکه های واقعی از شمع A و سکه های جعلی از شمع B در کفه سمت چپ ترازو قرار می گیرند و سکه های جعلی از شمع A و سکه های واقعی از شمع B روی تابه سمت راست سنگین تر است یکی 2) سکه های واقعی از شمع B و سکه های تقلبی از شمع C در سمت چپ ترازو قرار می گیرند و سکه های جعلی از شمع B و سکه های واقعی از شمع C روی تابه سمت راست سنگین تر است یکی 3) سکه های واقعی از شمع B و سکه های تقلبی از شمع های A و B در سمت چپ ترازو و سکه های جعلی از شمع B و سکه های واقعی از شمع های A و B در ظرف سمت راست قرار می گیرند سنگین تر از سمت چپ اجازه دهید x تفاوت وزن سکه های واقعی و تقلبی را در شمع A نشان دهد، یعنی. (1+2) -(10+11)، y - برای شمع B یکسان است، یعنی (3+4+5)-(12+13+14)، z - (6+7+8+9)- (15+16+17+18). وزن‌های ما سه نابرابری زیر را به داور ثابت کرد: y > x; z > y; x+y > z. از آنجایی که x،y،z اعداد صحیح هستند، نابرابری های دقیق را می توان با نامساوی غیر دقیق جایگزین کرد: y >= x+1 z >= y+1 x+y >= z+1. از این رو: x+y >= y+2 => x >= 2; x+y >= x+3 => y >= 3; 2z >= x+y+3 >= z+4 => z >= 4. از سوی دیگر، بدیهی است که تفاوت بین K سکه های واقعی و K سکه های مجهول نمی تواند بیشتر از K باشد و برابری تنها زمانی رخ می دهد که تمام سکه های مجهول تقلبی باشند. این همه چیزهایی را که قاضی نیاز دارد ثابت می کند... توجه داشته باشید که در این صورت نیازی به 9 سکه واقعی نیست! واقعا چند تا از آنها مورد نیاز است؟ فکر... یک مشکل حتی جالب تر برای چهار وزن است. الگوریتم مسئله الف) به متخصص اجازه می‌دهد ثابت کند که 15 سکه جعلی هستند. تعمیم الگوریتم توکارف به ما امکان می دهد این تخمین را به 27 ارتقا دهیم.
فرار از سیاه چال
شاه، پسرش شاهزاده و دخترش شاهزاده خانم در سیاه چال برج بلندی بودند. آنها به ترتیب 195، 105 و 90 پوند وزن داشتند. غذا در دو سبد که به انتهای یک طناب بلند وصل شده بود برای آنها بلند می شد. طناب روی تیری که زیر سقف خود رانده شده بود پرتاب شد. معلوم شد وقتی یک سبد روی زمین بود، سبد دوم در سطح پنجره سلول زندانیان بود. این سبدها تنها امید نجات باقی ماندند. طبیعتاً به محض اینکه یک سبد از سبد دیگر سنگین‌تر می‌شد، غرق می‌شد. با این حال، اگر اختلاف وزن بیش از 15 پوند باشد، سبد به سمت پایین سقوط می کند. تنها چیزی که به زندانیان کمک می کرد تا از اسارت فرار کنند، گلوله توپ 75 پوندی در سلول بود - آنها می توانستند سعی کنند از آن به عنوان وزنه تعادل استفاده کنند. چگونه زندانیان موفق به فرار شدند؟
1. شاهزاده خانم با استفاده از گلوله توپ به عنوان وزنه تعادل پایین می آید. 2. شاهزاده خانم که به زمین رسیده است، از سبد خارج نمی شود. شاهزاده با استفاده از شاهزاده خانم به عنوان وزنه تعادل، جای هسته را می گیرد و فرود می آید. 3. شاهزاده خانم بلند می شود و همراه با شاه گلوله توپ را داخل سبد می گذارد. 4. شاهزاده با گلوله توپ در سبد پایین می نشیند که به شاه اجازه می دهد پایین بیاید. 5. وقتی پادشاه روی زمین است، شاهزاده با گلوله توپ بالای سر است. شاهزاده از سبد خارج می شود و سبد گلوله توپ پایین می رود. 6. شاهزاده خانم در یک سبد خالی نزدیک سیاه چال می نشیند و به زمین می آید. 7. شاهزاده گلوله توپ را از سبد برافراشته بیرون آورده و خودش پایین می آید و از شاهزاده خانم به عنوان وزنه تعادل استفاده می کند. 8. شاهزاده خانم گلوله توپ را در یک سبد خالی پایین می آورد و در سبد بلند شده می نشیند و پایین می آید و از گلوله توپ به عنوان وزنه تعادل استفاده می کند.
سکه 1999
مجموعه ای از سکه های 1999 وجود دارد. مشخص است که 1410 مورد از آنها جعلی هستند. یک سکه تقلبی از نظر وزن 1 گرم با سکه اصلی متفاوت است و برخی از سکه های تقلبی ممکن است سبک تر و برخی دیگر سنگین تر از سکه های اصلی باشند. ما ترازوهای فنجانی داریم که می تواند تفاوت وزن را نشان دهد. چگونه می توان اصالت هر سکه را از یک مجموعه در یک توزین تشخیص داد؟
همه سکه ها را وزن می کنیم به جز این یکی و به تفاوت وزن نگاه می کنیم. اجازه دهید وزن یک سکه معمولی را با N نشان دهیم، سپس همه سکه ها 1998*N+2x وزن خواهند داشت (که در آن 0 =<705) - в данном случае наша монета настоящая, либо 1998*N+(2x-1) (где 0=<705) - в этом случае наша монета фальшивая.