(اطلاعات نظری مختصر)

انرژی برهمکنش بارهای نقطه ای

انرژی برهمکنش یک سیستم بارهای نقطه ای برابر است با کار نیروهای خارجی برای ایجاد این سیستم (نگاه کنید به شکل 1) از طریق حرکت آهسته (شبه استاتیک) بارها از نقاط بی نهایت دور از یکدیگر تا موقعیت های داده شده. این انرژی فقط به پیکربندی نهایی سیستم بستگی دارد، اما نه به روشی که این سیستم ایجاد شده است.

بر اساس این تعریف، می‌توانیم فرمول زیر را برای انرژی برهمکنش دو بار نقطه‌ای که در خلاء در فاصله قرار دارند به دست آوریم. r 12 جدا:

. (1)

اگر یک سیستم شامل سه بار نقطه ثابت باشد، انرژی برهمکنش آنها برابر است با مجموع انرژی های همه برهمکنش های جفت:

جایی که r 12 - فاصله بین اول و دوم r 13 - بین اول و سوم r 23 – بین شارژ دوم و سوم. انرژی برهمکنش الکتریکی سیستم نیز به طور مشابه محاسبه می شود نهزینه های امتیازی:

به عنوان مثال، برای یک سیستم 4 بار، فرمول (2) شامل 6 عبارت است.

انرژی الکتریکی هادی های باردار

انرژی الکتریکی یک رسانای باردار جدا شده برابر با کاری است که برای اعمال بار معین به هادی با حرکت آهسته آن باید انجام شود. در بخش های بی نهایت کوچکاز بی نهایت، جایی که در ابتدا این بخش های بار برهم کنش نداشتند. انرژی الکتریکی یک هادی منفرد را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد

, (3)

جایی که q– بار هادی،  – پتانسیل آن. به ویژه، اگر یک هادی باردار شکل یک توپ داشته باشد و در خلاء قرار گیرد، پتانسیل آن است
و از (3) انرژی الکتریکی برابر است با

,

جایی که آر- شعاع توپ، q- شارژ آن

انرژی الکتریکی چندین هادی باردار به طور مشابه تعیین می شود - اعمال این بارها به هادی ها برابر با کار نیروهای خارجی است. برای سیستم انرژی الکتریکی از نهادی های باردار، می توانیم فرمول زیر را بدست آوریم:

, (4)

جایی که و - شارژ و پتانسیل - هادی ام توجه داشته باشید که فرمول های (3)، (4) در مواردی نیز معتبر هستند که هادی های باردار در خلاء نیستند، بلکه در یک دی الکتریک خنثی همسانگرد هستند.

با استفاده از (4) برق را محاسبه می کنیم انرژی یک خازن باردار. بار صفحه مثبت را نشان می دهد q، پتانسیل آن  1 و پتانسیل صفحه منفی  2 به دست می آید:

,

جایی که
- ولتاژ در خازن با توجه به اینکه
، فرمول انرژی خازن را نیز می توان به شکل نمایش داد

, (5)

جایی که سی- ظرفیت خازن

انرژی الکتریکی و انرژی متقابل خود

اجازه دهید انرژی الکتریکی دو توپ رسانا را در نظر بگیریم که شعاع آنها برابر است آر 1 , آر 2 و اتهامات q 1 , q 2. فرض می کنیم که توپ ها در یک خلاء در فاصله زیادی نسبت به شعاعشان قرار دارند لاز یکدیگر. در این حالت، فاصله مرکز یک توپ تا هر نقطه از سطح توپ دیگر تقریباً برابر است لو پتانسیل توپ ها را می توان با فرمول های زیر بیان کرد:

,
.

ما انرژی الکتریکی سیستم را با استفاده از (4) پیدا می کنیم:

.

اولین عبارت در فرمول حاصل انرژی برهمکنش بارهای واقع در اولین توپ است. این انرژی را انرژی الکتریکی خودش (گوی اول) می نامند. به طور مشابه، جمله دوم انرژی الکتریکی خود توپ دوم است. آخرین جمله انرژی برهمکنش بارهای توپ اول با بارهای دوم است.

در
انرژی الکتریکی برهمکنش به طور قابل توجهی کمتر از مجموع انرژی های خودی توپ ها است، با این حال، زمانی که فاصله بین توپ ها تغییر می کند، انرژی های خود عملاً ثابت می مانند و تغییر در کل انرژی الکتریکی تقریباً برابر است. تغییر در انرژی تعامل این نتیجه نه تنها برای توپ های هدایت کننده، بلکه برای اجسام باردار با شکل دلخواه واقع در آنها معتبر است مسافت طولانیاز یکدیگر: افزایش انرژی الکتریکی سیستم برابر است با افزایش انرژی برهمکنش اجسام باردار سیستم:
. انرژی تعامل
اجسام دور از یکدیگر به شکل آنها بستگی ندارد و با فرمول (2) تعیین می شود.

هنگام استخراج فرمول های (1)، (2)، هر یک از بارهای نقطه ای به عنوان چیزی کامل و بدون تغییر در نظر گرفته می شد. فقط کار انجام شده در هنگام همگرایی چنین بارهای ثابتی در نظر گرفته شد، اما نه در مورد شکل گیری آنها. در مقابل، هنگام استخراج فرمول های (3)، (4)، کار انجام شده هنگام اعمال هزینه ها نیز در نظر گرفته شد. q منبه هر یک از بدنه های سیستم با انتقال برق در بخش های بی نهایت کوچک از نقاط بی نهایت دور. بنابراین فرمول های (3)، (4) کل انرژی الکتریکی سیستم بارها را تعیین می کنند و فرمول های (1)، (2) فقط انرژی الکتریکی برهمکنش بارهای نقطه ای را تعیین می کنند.

چگالی انرژی میدان الکتریکی حجمی

انرژی الکتریکی یک خازن صفحه موازی را می توان بر حسب شدت میدان بین صفحات آن بیان کرد:

,

جایی که
- حجم فضای اشغال شده توسط میدان، اس- مساحت پوشش ها، د- فاصله بین آنها به نظر می رسد که انرژی الکتریکی یک سیستم دلخواه از هادی های باردار و دی الکتریک ها را می توان از طریق کشش بیان کرد:

, (5)

,

و ادغام در کل فضای اشغال شده توسط میدان انجام می شود (فرض می شود که دی الکتریک همسانگرد است و
). اندازه wانرژی الکتریکی در واحد حجم را نشان می دهد. فرمول (5) دلیلی برای این فرض می‌دهد که انرژی الکتریکی نه در بارهای متقابل، بلکه در فضای پرکننده میدان الکتریکی آنها وجود دارد. در چارچوب الکترواستاتیک، این فرض را نمی توان به صورت تجربی یا از نظر تئوری اثبات کرد، اما در نظر گرفتن میدان های الکتریکی و مغناطیسی متناوب، تأیید صحت تفسیر این میدان از فرمول (5) را ممکن می سازد.

بگذارید دو بار نقطه ای q 1 و q 2 در خلاء در فاصله r از یکدیگر باشند. می توان نشان داد که انرژی پتانسیل اثر متقابل آنها با فرمول به دست می آید:

W = kq 1 q 2 /r (3)

ما فرمول (3) را بدون اثبات می پذیریم. دو ویژگی این فرمول باید مورد بحث قرار گیرد.

اول اینکه سطح صفر انرژی پتانسیل کجاست؟ به هر حال، انرژی پتانسیل، همانطور که از فرمول (3) مشاهده می شود، نمی تواند به صفر برسد. اما در واقع، سطح صفر وجود دارد و در بی نهایت قرار دارد. به عبارت دیگر، هنگامی که بارها بی نهایت دور از یکدیگر قرار دارند، انرژی پتانسیل تعامل آنها برابر با صفر فرض می شود (که منطقی است - در این مورد بارها دیگر "برهم کنش" ندارند). ثانیا، q 1 و q 2 دوباره مقادیر جبری بارها هستند، یعنی. هزینه ها با در نظر گرفتن علامت آنها.

به عنوان مثال، انرژی پتانسیل تعامل بین دو بار همنام مثبت خواهد بود. چرا؟ اگر آنها را رها کنیم، آنها شروع به شتاب گرفتن و دور شدن از یکدیگر می کنند.

انرژی جنبشی آنها افزایش می یابد، بنابراین انرژی پتانسیل آنها کاهش می یابد. اما در بی نهایت انرژی پتانسیل به صفر می رسد و چون به صفر می رسد یعنی مثبت است.

اما انرژی پتانسیل تعامل بین بارهای غیرمشابه منفی است. در واقع، بیایید آنها را با فاصله بسیار زیادی از یکدیگر حذف کنیم - به طوری که انرژی پتانسیل صفر شود - و آنها را رها کنیم. بارها شروع به شتاب گرفتن کرده و به یکدیگر نزدیک می شوند و انرژی پتانسیل دوباره کاهش می یابد. اما اگر صفر بود پس کجا باید کم شود؟ فقط به سمت مقادیر منفی.

فرمول (3) همچنین به محاسبه انرژی پتانسیل یک سیستم بارها در صورتی که تعداد بارها از دو بار بیشتر باشد کمک می کند. برای انجام این کار، باید انرژی هر جفت بار را جمع آوری کنید. ما یک فرمول کلی نمی نویسیم. اجازه دهید آنچه را که گفته شد با یک مثال ساده نشان داده شده در شکل بهتر نشان دهیم. 8

برنج. 8.

اگر بارهای q 1، q 2، q 3 در رئوس مثلثی با اضلاع a، b، c قرار گیرند، انرژی پتانسیل برهم کنش آنها برابر است با:

W = kq 1 q 2 /a + kq 2 q 3 /b + kq 1 q 3 /c

پتانسیل

از فرمول W = - qEx می بینیم که انرژی پتانسیل یک بار q در یک میدان یکنواخت با این بار نسبت مستقیم دارد. همان چیزی را از فرمول W = kq 1 q 2 /r می بینیم، انرژی پتانسیل یک بار q 1 واقع در میدان بار نقطه ای q 2 مستقیماً با مقدار بار q 1 متناسب است. به نظر می رسد که این یک واقعیت کلی است: انرژی پتانسیل W یک بار q در هر میدان الکترواستاتیکی با مقدار q نسبت مستقیم دارد:

مقدار q دیگر به بار بستگی ندارد، مشخصه میدان است و پتانسیل نامیده می شود:

بنابراین، پتانسیل یک میدان یکنواخت E در نقطه ای با آبسیسا x برابر است با:

به یاد بیاورید که محور X با خط قدرت میدان منطبق است. می بینیم که با افزایش x پتانسیل کاهش می یابد. به عبارت دیگر بردار شدت میدان جهت کاهش پتانسیل را نشان می دهد. برای پتانسیل میدان بار نقطه ای q در فاصله r از آن داریم:

واحد اندازه گیری پتانسیل ولت شناخته شده است. از فرمول (5) می بینیم که B = J / C.

بنابراین، اکنون دو ویژگی میدان داریم: نیرو (کشش) و انرژی (پتانسیل). هر کدام از آنها مزایا و معایب خاص خود را دارند. استفاده از کدام مشخصه راحت تر است به کار خاص بستگی دارد.

سخنرانی 2.6.

انرژی تعامل شارژ

سیستمی از بارهای دو نقطه ای را در نظر بگیرید. انرژی برهمکنش را می توان به عنوان انرژی اولین بار در میدان دوم تفسیر کرد (نگاه کنید به (2.1.3))

از آنجایی که هر دو نمایش برابر هستند، انرژی اندرکنش این بارها را می توان به صورت زیر نوشت

جایی که - من- شارژ نقطه ای سیستم، پتانسیل میدانی است که توسط تمام بارهای دیگر سیستم ایجاد می شود، به جز من-که، در نقطه ای که شارژ قرار دارد.

اگر بارها به طور مداوم توزیع شوند، پس با نشان دادن سیستم بارها به عنوان مجموعه ای از بارهای اولیه و ادامه به یکپارچگی، عبارت را به دست می آوریم.

انرژی برهمکنش بارهای اولیه توپ اول با یکدیگر کجاست، انرژی برهمکنش بارهای اولیه توپ دوم با یکدیگر، انرژی برهمکنش بارهای اولیه توپ اول با یکدیگر است. بارهای اولیه توپ دوم انرژی نامیده می شود انرژی های خوداتهامات و . انرژی نامیده می شود انرژی تعاملاتهامات و .

انرژی یک هادی و خازن جدا شده

اجازه دهید هادی دارای بار و پتانسیل باشد. انرژی هادی از آنجایی که هادی یک ناحیه هم پتانسیل است، پتانسیل از زیر علامت انتگرال خارج می شود. سرانجام

انرژی خازن

بار و پتانسیل صفحه دارای بار مثبت و به ترتیب صفحه منفی باشد. سپس انرژی خازن با در نظر گرفتن و نوشته خواهد شد

انرژی میدان الکتریکی

معنای فیزیکی انرژی یک خازن چیزی نیست جز انرژی میدان الکتریکی متمرکز در داخل آن. اجازه دهید بیانی برای انرژی یک خازن تخت بر حسب ولتاژ به دست آوریم. ما از اثرات لبه غفلت خواهیم کرد. بیایید از فرمول و عبارت برای ظرفیت خازن تخت استفاده کنیم.

انتگرال در اینجا به معنای انرژی موجود در حجم است. این منجر به یک ایده مهم در مورد محلی سازی انرژی در خود میدان

این فرض در زمینه فیلدهای متغیر تایید می شود. این میدان های متناوب هستند که می توانند مستقل از بارهای الکتریکی که آنها را تحریک می کنند وجود داشته باشند و به شکل امواج الکترومغناطیسی که انرژی را منتقل می کنند در فضا منتشر شوند.

بنابراین، حامل انرژی خود میدان است.

با تجزیه و تحلیل آخرین عبارت، می‌توان چگالی انرژی حجمی را معرفی کرد. انرژی موجود در واحد حجم

ما (2.6.8) و (2.6.9) را در مورد خاص یک دی الکتریک همگن و همسانگرد در یک میدان الکتریکی یکنواخت به دست آوردیم. در این حالت بردارها و هم جهت هستند و قابل نوشتن هستند

نیروهای برهمکنش بین بارهای الکتریکی محافظه کار هستند، بنابراین، یک سیستم بارهای الکتریکی دارای انرژی پتانسیل است.

اجازه دهید دو بار نقطه ثابت q 1 و q 2 داده شوند که در یک فاصله قرار دارند rاز یکدیگر. هر بار در میدان بار دیگر دارای انرژی پتانسیل است

; , (4.1)

که در آن j 1.2 و j 2.1 به ترتیب پتانسیل های ایجاد شده توسط بار q 2 در نقطه ای که بار q 1 قرار دارد و توسط بار q 1 در نقطه ای که بار q 2 قرار دارد ایجاد می شود.

، آ . (4.3)

از این رو،

. (4.4)

برای اینکه هر دو بار به طور متقارن وارد معادله انرژی سیستم شوند، عبارت (4.4) را می توان به صورت نوشتاری نوشت.

. (4.5)

با افزودن متوالی بارهای q 3، q 4 و غیره به سیستم بارها، می توان تأیید کرد که در مورد بارهای N انرژی پتانسیل سیستم برابر است.

, (4.6)

که در آن j i پتانسیل ایجاد شده در نقطه ای است که q i توسط همه بارها به جز i ​​-ام قرار دارد.

با توزیع پیوسته بارها در حجم اولیه dV یک بار dq = r×dV وجود دارد. برای تعیین انرژی برهمکنش بار dq، می‌توانیم فرمول (4.6) را اعمال کنیم و آن را از مجموع به انتگرال منتقل کنیم:

, (4.7)

که در آن j پتانسیل در نقطه ای از عنصر حجمی dV است.

لازم به ذکر است که بین فرمول (4.6) و (4.7) تفاوت اساسی وجود دارد. فرمول (4.6) فقط انرژی برهمکنش بین بارهای نقطه ای را در نظر می گیرد، اما انرژی برهمکنش عناصر بار هر یک از بارهای نقطه ای را با یکدیگر (انرژی خود بار نقطه ای) در نظر نمی گیرد. فرمول (4.7) هم انرژی برهمکنش بین بارهای نقطه ای و هم انرژی خود این بارها را در نظر می گیرد. هنگام محاسبه انرژی برهمکنش بارهای نقطه ای، آن را به انتگرال در حجم V i بارهای نقطه ای کاهش می دهیم:

, (4.8)

که در آن j i پتانسیل در هر نقطه از حجم بار نقطه i است.

j i = j i ¢ + j i с, (4.9)

که در آن j i ¢ پتانسیل ایجاد شده توسط بارهای نقطه ای دیگر در همان نقطه است.

j i с - پتانسیل ایجاد شده توسط بخشهایی از بار نقطه i در یک نقطه معین.

از آنجایی که بارهای نقطه ای را می توان به صورت کروی متقارن نشان داد، پس

(4.10)

که در آن W ¢ با فرمول (4.6) تعیین می شود.

مقدار انرژی خود بار به قوانین توزیع بار و به بزرگی بارها بستگی دارد. به عنوان مثال، با توزیع کروی یکنواخت بارها با چگالی سطح s

.

از این رو،

. (4.11)

از فرمول (4.11) واضح است که در R®0 مقدار W با ®¥ است. این بدان معنی است که خود انرژی یک بار نقطه ای برابر با بی نهایت است. این منجر به کاستی های جدی مفهوم "نقطه شارژ" می شود.

بنابراین، از فرمول (4.6) می توان برای تجزیه و تحلیل تعامل بارهای نقطه ای استفاده کرد، زیرا حاوی انرژی خاص خود نیست. فرمول (4.7) برای توزیع بار پیوسته کل انرژی برهمکنش را در نظر می گیرد و بنابراین کلی تر است.

در صورت وجود بارهای سطحی، فرم فرمول (4.7) تا حدودی تغییر می کند. انتگرال این فرمول برابر است با و به معنای انرژی پتانسیلی است که یک عنصر بار dq هنگامی که در نقطه ای با پتانسیل j قرار می گیرد دارد. این انرژی پتانسیل مستقل از اینکه dq یک عنصر بار فضایی است یا یک عنصر بار سطحی است. بنابراین، برای توزیع سطح dq = s×dS. بنابراین، برای انرژی میدان بارهای سطحی

در الکترواستاتیک، پاسخ به این سوال که انرژی یک خازن در کجا متمرکز است غیرممکن است. زمینه ها و اتهاماتی که آنها را تشکیل می دهند نمی توانند جداگانه وجود داشته باشند. آنها را نمی توان از هم جدا کرد. با این حال، میدان های متناوب می توانند بدون توجه به بارهایی که آنها را تحریک می کنند (تابش خورشیدی، امواج رادیویی، ...) وجود داشته باشند و انرژی را منتقل می کنند. این حقایق ما را مجبور می کند که به آن اعتراف کنیم حامل انرژی میدان الکترواستاتیک است .

هنگام حرکت بارهای الکتریکی، نیروهای برهمکنش کولن مقدار مشخصی کار را انجام می دهند آ. کار انجام شده توسط سیستم با کاهش انرژی برهمکنش -d تعیین می شود دبلیواتهامات

انرژی برهمکنش دو بار نقطه ای q 1 و q 2 واقع در فاصله r 12، از نظر عددی برابر با کار حرکت بار است q 1 در زمینه شارژ ثابت q 2 از نقطه با پتانسیل به نقطه با پتانسیل:

نوشتن انرژی تعامل دو بار به شکل متقارن راحت است

.

(5.5.3)

برای یک سیستم از nبارهای نقطه ای (شکل 5.14) به دلیل اصل برهم نهی برای پتانسیل، در نقطه مکان ک-مین شارژ، می توانیم بنویسیم:

اینجا φ ک , من- پتانسیل من-ام شارژ در نقطه محل ک-ام شارژ در مجموع، φ پتانسیل حذف شده است ک , ک، یعنی تأثیر بار بر خود که برابر با بی نهایت برای بار نقطه ای است، در نظر گرفته نمی شود.

سپس انرژی متقابل سیستم nهزینه برابر است با:

(5.5.4)

این فرمول تنها در صورتی معتبر است که فاصله بین بارها به طور قابل توجهی از اندازه خود شارژها بیشتر باشد.

بیایید انرژی یک خازن باردار را محاسبه کنیم. خازن از دو صفحه تشکیل شده است که در ابتدا بدون شارژ هستند. ما به تدریج شارژ d را از صفحه زیرین حذف می کنیم qو آن را به صفحه بالایی منتقل کنید (شکل 5.15).

در نتیجه اختلاف پتانسیل بین صفحات ایجاد می شود.هنگام انتقال هر قسمت شارژ، کار ابتدایی انجام می شود.

با استفاده از تعریف ظرفیت به دست می آوریم

کل کار صرف شده برای افزایش شارژ صفحات خازن از 0 به q، برابر است با:

این انرژی را می توان به صورت هم نوشت