(Brèves informations théoriques)

Énergie d'interaction des charges ponctuelles

L'énergie d'interaction d'un système de charges ponctuelles est égale au travail des forces externes pour créer ce système (voir Fig. 1) à travers le mouvement lent (quasi-statique) des charges depuis des points infiniment éloignés les uns des autres vers des positions données. Cette énergie dépend uniquement de la configuration finale du système, mais pas de la manière dont ce système a été créé.

Sur la base de cette définition, nous pouvons obtenir la formule suivante pour l'énergie d'interaction de deux charges ponctuelles situées dans le vide à distance r 12 à part :

. (1)

Si un système contient trois charges ponctuelles stationnaires, alors l'énergie de leur interaction est égale à la somme des énergies de toutes les interactions de paires :

Où r 12 – distance entre le premier et le deuxième, r 13 - entre le premier et le troisième, r 23 – entre le deuxième et le troisième chef d’accusation. L'énergie d'interaction électrique du système est calculée de la même manière à partir de N frais ponctuels :

Par exemple, pour un système de 4 charges, la formule (2) contient 6 termes.

Énergie électrique des conducteurs chargés

L'énergie électrique d'un conducteur chargé isolé est égale au travail qui doit être effectué pour appliquer une charge donnée au conducteur en le déplaçant lentement en portions infinitésimales depuis l'infini, là où initialement ces portions de charge n'interagissaient pas. L'énergie électrique d'un conducteur solitaire peut être calculée à l'aide de la formule

, (3)

Où q– la charge du conducteur,  – son potentiel. En particulier, si un conducteur chargé a la forme d'une boule et se trouve dans le vide, alors son potentiel
et, comme il ressort de (3), l'énergie électrique est égale à

,

Où R.– rayon de la balle, q- sa charge.

L'énergie électrique de plusieurs conducteurs chargés est déterminée de la même manière - elle est égale au travail de forces externes pour appliquer ces charges aux conducteurs. Pour système d'énergie électrique de N conducteurs chargés, on peut obtenir la formule :

, (4)

Où Et - charge et potentiel - le chef d’orchestre. A noter que les formules (3), (4) sont également valables dans le cas où les conducteurs chargés ne sont pas sous vide, mais dans un diélectrique neutre isotrope.

En utilisant (4), nous calculons la puissance électrique énergie d'un condensateur chargé. Désignant la charge de la plaque positive q, son potentiel  1, et le potentiel de la plaque négative  2, on obtient :

,

Où
- tension aux bornes du condensateur. Étant donné que
, la formule de l'énergie du condensateur peut également être représentée sous la forme

, (5)

Où C– la capacité du condensateur.

Propre énergie électrique et énergie d’interaction

Considérons l'énergie électrique de deux billes conductrices dont les rayons sont R. 1 , R. 2 et les accusations q 1 , q 2. Nous supposerons que les billes sont situées dans le vide à une grande distance par rapport à leurs rayons je de chacun d'eux. Dans ce cas, la distance entre le centre d'une balle et n'importe quel point de la surface de l'autre est approximativement égale à je et les potentiels des boules peuvent être exprimés par les formules :

,
.

On trouve l'énergie électrique du système en utilisant (4) :

.

Le premier terme de la formule résultante est l'énergie d'interaction des charges situées sur la première boule. Cette énergie est appelée sa propre énergie électrique (de la première boule). De même, le deuxième terme est l’énergie électrique propre de la deuxième boule. Le dernier terme est l'énergie d'interaction des charges de la première boule avec les charges de la seconde.

À
l'énergie électrique d'interaction est nettement inférieure à la somme des énergies propres des boules, cependant, lorsque la distance entre les boules change, les énergies propres restent pratiquement constantes et la variation de l'énergie électrique totale est approximativement égale à la changement dans l’énergie d’interaction. Cette conclusion est valable non seulement pour les billes conductrices, mais aussi pour les corps chargés de forme arbitraire situés sur longue distance les uns des autres : l'incrément de l'énergie électrique du système est égal à l'incrément de l'énergie d'interaction des corps chargés du système :
. Énergie d'interaction
les corps éloignés les uns des autres ne dépendent pas de leur forme et sont déterminés par la formule (2).

Lors de l’élaboration des formules (1), (2), chacune des charges ponctuelles a été considérée comme un tout et immuable. Seul le travail effectué lors de la convergence de telles charges constantes a été pris en compte, mais pas celui de leur formation. Au contraire, lors de l'élaboration des formules (3), (4), le travail effectué lors de l'application des taxes a également été pris en compte. q jeà chacun des corps du système en transférant de l'électricité par portions infiniment petites à partir de points infiniment éloignés. Par conséquent, les formules (3), (4) déterminent l'énergie électrique totale du système de charges, et les formules (1), (2) uniquement l'énergie électrique de l'interaction des charges ponctuelles.

Densité d'énergie du champ électrique volumétrique

L'énergie électrique d'un condensateur à plaques parallèles peut être exprimée en termes d'intensité de champ entre ses plaques :

,

Où
- volume d'espace occupé par le terrain, S– superficie des revêtements, d– la distance qui les sépare. Il s'avère que l'énergie électrique d'un système arbitraire de conducteurs chargés et de diélectriques peut être exprimée par la tension :

, (5)

,

et l'intégration s'effectue sur tout l'espace occupé par le champ (on suppose que le diélectrique est isotrope et
). Ordre de grandeur w représente l’énergie électrique par unité de volume. La forme de la formule (5) donne des raisons de supposer que l'énergie électrique n'est pas contenue dans des charges en interaction, mais dans leur champ électrique remplissant l'espace. Dans le cadre de l'électrostatique, cette hypothèse ne peut être vérifiée expérimentalement ni étayée théoriquement, mais la prise en compte des champs électriques et magnétiques alternés permet de vérifier l'exactitude de cette interprétation de champ de la formule (5).

Supposons que deux charges ponctuelles q 1 et q 2 soient dans le vide à une distance r l'une de l'autre. On peut montrer que l'énergie potentielle de leur interaction est donnée par la formule :

W = kq 1 q 2 /r (3)

Nous acceptons la formule (3) sans preuve. Deux caractéristiques de cette formule doivent être discutées.

Premièrement, où se situe le niveau zéro de l’énergie potentielle ? Après tout, l’énergie potentielle, comme le montre la formule (3), ne peut pas atteindre zéro. Mais en fait, le niveau zéro existe, et il se situe à l'infini. Autrement dit, lorsque les charges sont situées à l'infini les unes des autres, l'énergie potentielle de leur interaction est supposée égale à zéro (ce qui est logique : dans ce cas les charges n'« interagissent » plus). Deuxièmement, q 1 et q 2 sont à nouveau des quantités algébriques de charges, c'est-à-dire charges tenant compte de leur signe.

Par exemple, l’énergie potentielle d’interaction entre deux charges du même nom sera positive. Pourquoi? Si nous les laissons partir, ils commenceront à accélérer et à s'éloigner les uns des autres.

Leur énergie cinétique augmente donc leur énergie potentielle diminue. Mais à l’infini, l’énergie potentielle tend vers zéro, et comme elle diminue jusqu’à zéro, cela signifie qu’elle est positive.

Mais l’énergie potentielle d’interaction entre charges différentes s’avère être négative. En effet, éloignons-les à une très grande distance les uns des autres - pour que l'énergie potentielle soit nulle - et laissons-les partir. Les charges commenceront à s'accélérer, à se rapprocher les unes des autres, et l'énergie potentielle diminuera à nouveau. Mais s’il était nul, alors où devrait-il diminuer ? Uniquement vers des valeurs négatives.

La formule (3) permet également de calculer l'énergie potentielle d'un système de charges si le nombre de charges est supérieur à deux. Pour ce faire, vous devez additionner les énergies de chaque paire de charges. Nous n’écrirons pas de formule générale ; Illustrons mieux ce qui vient d'être dit avec un exemple simple montré sur la figure. 8

Riz. 8.

Si les charges q 1, q 2, q 3 sont situées aux sommets d'un triangle de côtés a, b, c, alors l'énergie potentielle de leur interaction est égale à :

W = kq 1 q 2 /a + kq 2 q 3 /b + kq 1 q 3 /c

Potentiel

A partir de la formule W = - qEx on voit que l'énergie potentielle d'une charge q dans un champ uniforme est directement proportionnelle à cette charge. On voit la même chose avec la formule W = kq 1 q 2 /r, l'énergie potentielle d'une charge q 1 située dans le champ d'une charge ponctuelle q 2 est directement proportionnelle à la quantité de charge q 1. Il s'avère qu'il s'agit d'un fait général : l'énergie potentielle W d'une charge q dans tout champ électrostatique est directement proportionnelle à la valeur de q :

La valeur q ne dépend plus de la charge, est une caractéristique du champ et est appelée potentiel :

Ainsi, le potentiel d'un champ uniforme E en un point d'abscisse x est égal à :

Rappelez-vous que l’axe X coïncide avec la ligne d’intensité du champ. Nous voyons que lorsque x augmente, le potentiel diminue. En d’autres termes, le vecteur d’intensité de champ indique la direction dans laquelle le potentiel diminue. Pour le potentiel de champ d’une charge ponctuelle q à une distance r de celle-ci, nous avons :

L'unité de mesure du potentiel est le volt bien connu. D'après la formule (5), nous voyons que B = J / C.

Nous avons donc maintenant deux caractéristiques du champ : la force (tension) et l’énergie (potentiel). Chacun d'eux a ses propres avantages et inconvénients. La caractéristique la plus pratique à utiliser dépend de la tâche spécifique.

Cours 2.6.

Énergie d'interaction de charge

Considérons un système de redevances à deux points. L'énergie d'interaction peut être interprétée comme l'énergie de la première charge dans le champ de la seconde (voir (2.1.3))

Puisque les deux représentations sont égales, l’énergie d’interaction de ces charges peut s’écrire comme suit

Où - je-ème charge ponctuelle du système, est le potentiel du champ créé par toutes les autres charges du système, sauf je-cela, à l'endroit où se situe la charge.

Si les charges sont distribuées de manière continue, alors, en représentant le système de charges comme un ensemble de charges élémentaires et en procédant à l'intégration, on obtient l'expression

où est l'énergie d'interaction des charges élémentaires de la première boule entre elles, est l'énergie d'interaction des charges élémentaires de la deuxième boule entre elles, est l'énergie d'interaction des charges élémentaires de la première boule avec la charges élémentaires de la deuxième boule. L'énergie s'appelle propres énergies les frais et . L'énergie s'appelle énergie d'interaction les frais et .

Énergie d'un conducteur isolé et d'un condensateur

Laissez le conducteur avoir une charge et un potentiel. Énergie du conducteur. Puisque le conducteur est une région équipotentielle, le potentiel est retiré sous le signe intégral. Enfin

Énergie du condensateur.

Soient et la charge et le potentiel de la plaque chargée positivement, et et la plaque négative, respectivement. Ensuite l'énergie du condensateur, en tenant compte et s'écrira

Énergie du champ électrique.

La signification physique de l'énergie d'un condensateur n'est rien d'autre que l'énergie du champ électrique concentré à l'intérieur de celui-ci.. Obtenons une expression de l'énergie d'un condensateur plat en termes de tension. Nous négligerons les effets de bord. Utilisons la formule et l'expression de la capacité d'un condensateur plat.

L'intégrande a ici le sens d'énergie contenue dans le volume. Cela nous amène à une idée importante sur localisation de l'énergie dans le champ lui-même.

Cette hypothèse se confirme dans le domaine des champs variables. Ce sont des champs alternatifs qui peuvent exister indépendamment des charges électriques qui les excitent et se propagent dans l'espace sous forme d'ondes électromagnétiques qui transfèrent de l'énergie.

Ainsi, le porteur d'énergie est le champ lui-même.

En analysant la dernière expression, nous pouvons introduire la densité d'énergie volumétrique, c'est-à-dire énergie contenue dans une unité de volume

Nous avons obtenu (2.6.8) et (2.6.9) dans le cas particulier d'un diélectrique homogène et isotrope dans un champ électrique uniforme. Dans ce cas, les vecteurs et sont codirectionnels et peuvent s’écrire

Les forces d’interaction entre les charges électriques sont conservatrices ; un système de charges électriques possède donc de l’énergie potentielle.

Soit deux charges ponctuelles stationnaires q 1 et q 2, situées à distance r de chacun d'eux. Chaque charge dans le champ d'une autre charge a une énergie potentielle

; , (4.1)

où j 1.2 et j 2.1 sont respectivement les potentiels créés par la charge q 2 au point où se trouve la charge q 1 et par la charge q 1 au point où se trouve la charge q 2.

, UN . (4.3)

Ainsi,

. (4.4)

Pour que les deux charges entrent symétriquement dans l’équation énergétique du système, l’expression (4.4) peut s’écrire sous la forme

. (4.5)

En ajoutant séquentiellement des charges q 3 , q 4 , etc. au système de charges, on peut vérifier que dans le cas de N charges l'énergie potentielle du système est

, (4.6)

où j i est le potentiel créé au point où q i est localisé par toutes les charges sauf la i -ème.

Avec une distribution continue de charges dans le volume élémentaire dV il existe une charge dq = r×dV. Pour déterminer l'énergie d'interaction de charge dq, on peut appliquer la formule (4.6), en y passant de la somme à l'intégrale :

, (4.7)

où j est le potentiel en un point de l'élément de volume dV.

Il convient de noter qu'il existe une différence fondamentale entre les formules (4.6) et (4.7). La formule (4.6) ne prend en compte que l'énergie d'interaction entre les charges ponctuelles, mais ne prend pas en compte l'énergie d'interaction des éléments de charge de chacune des charges ponctuelles entre eux (l'énergie propre de la charge ponctuelle). La formule (4.7) prend en compte à la fois l'énergie d'interaction entre les charges ponctuelles et l'énergie propre de ces charges. Lors du calcul de l'énergie d'interaction des charges ponctuelles, elle est réduite à des intégrales sur le volume V i des charges ponctuelles :

, (4.8)

où j i est le potentiel en tout point du volume de la ième charge ponctuelle ;

j je = j je ¢ + j je с, (4.9)

où j i ¢ est le potentiel créé par d'autres charges ponctuelles au même point ;

j je с – potentiel créé par des parties de la ième charge ponctuelle en un point donné.

Puisque les charges ponctuelles peuvent être représentées comme étant à symétrie sphérique, alors

(4.10)

où W ¢ est déterminé par la formule (4.6).

La valeur de l'énergie propre de la charge dépend des lois de répartition des charges et de l'ampleur des charges. Par exemple, avec une distribution sphérique uniforme de charges de densité surfacique s

.

Ainsi,

. (4.11)

D'après la formule (4.11), il est clair qu'à R®0 la valeur de W est avec ®¥. Cela signifie que l’énergie propre d’une charge ponctuelle est égale à l’infini. Cela conduit à de graves lacunes du concept de « facturation ponctuelle ».

Ainsi, la formule (4.6) peut être utilisée pour analyser l'interaction des charges ponctuelles, puisqu'elle ne contient pas leur propre énergie. La formule (4.7) pour une distribution de charge continue prend en compte toute l'énergie d'interaction et est donc plus générale.

En présence de charges superficielles, la forme de la formule (4.7) change quelque peu. L'intégrande de cette formule est égale à et a la signification de l'énergie potentielle que possède un élément de charge dq lorsqu'il est situé en un point de potentiel j. Cette énergie potentielle est indépendante du fait que dq soit un élément de charge d'espace ou un élément de charge de surface. Par conséquent, pour la distribution surfacique dq = s×dS. Par conséquent, pour l’énergie du champ de charges superficielles

En électrostatique, il est impossible de répondre à la question de savoir où est concentrée l’énergie d’un condensateur. Les champs et les charges qui les constituent ne peuvent exister séparément. Ils ne peuvent pas être séparés. Or, des champs alternatifs peuvent exister quelles que soient les charges qui les excitent (rayonnement solaire, ondes radio,...), et ils transfèrent de l'énergie. Ces faits nous obligent à admettre que le vecteur d'énergie est le champ électrostatique .

Lors du déplacement de charges électriques, les forces d'interaction coulombiennes effectuent une certaine quantité de travail d UN. Le travail effectué par le système est déterminé par la diminution de l'énergie d'interaction -d W des charges

Énergie d'interaction de deux charges ponctuelles q 1 et q 2 situé à distance r 12, est numériquement égal au travail de déplacement de la charge q 1 dans le domaine d'une charge stationnaire q 2 d'un point à potentiel à un point à potentiel :

Il est pratique d'écrire l'énergie d'interaction de deux charges sous une forme symétrique

.

(5.5.3)

Pour un système de n charges ponctuelles (Fig. 5.14) dues au principe de superposition de potentiel, au point de localisation k-ème charge, on peut écrire :

Ici φ k , je- potentiel je-ème charge au point de localisation k-ème accusation. Au total, le potentiel φ est exclu k , k, c'est à dire. L'effet de la charge sur elle-même, qui est égal à l'infini pour une charge ponctuelle, n'est pas pris en compte.

Alors l'énergie mutuelle du système n les charges sont égales à :

(5.5.4)

Cette formule n'est valable que si la distance entre les charges dépasse largement la taille des charges elles-mêmes.

Calculons l'énergie d'un condensateur chargé. Le condensateur est constitué de deux plaques initialement non chargées. Nous retirerons progressivement la charge d de la plaque inférieure q et transférez-le sur la plaque supérieure (Fig. 5.15).

En conséquence, une différence de potentiel apparaîtra entre les plaques. Lors du transfert de chaque portion de charge, un travail élémentaire est effectué

En utilisant la définition de la capacité, nous obtenons

Travail total dépensé pour augmenter la charge sur les plaques du condensateur de 0 à q, est égal à:

Cette énergie peut également s’écrire