سری های متناوب و متناوب و همگرایی آنها. نمونه ها سری های متناوب، همگرایی مطلق و مشروط سری تابعی. منطقه همگرایی سری عملکردی

سری اعدادی که شامل بی نهایت عدد مثبت و بی نهایت جمله منفی باشد متناوب نامیده می شود.

همگرایی مطلق و مشروط

به یک سری گفته می شود که کاملاً همگرا است اگر سری هم همگرا شوند.

اگر یک سری به طور مطلق همگرا شود، آنگاه همگرا است (به معنای معمول). جمله معکوس درست نیست.

یک سری به صورت شرطی همگرا نامیده می شود که خودش همگرا باشد و سری متشکل از مدول های اعضای آن واگرا شود.

سری را برای همگرایی بررسی کنید .

اجازه دهید آزمون کافی لایب نیتس را برای سری های متناوب اعمال کنیم. می گیریم

چون . بنابراین، این سری همگرا می شود.

38. ردیف های متناوب. علامت لایب نیتس

یک مورد خاص از یک سری متناوب، یک سری متناوب است، یعنی مجموعه ای که در آن عبارت های متوالی دارای علائم متضاد هستند.

آزمون لایب نیتس

برای نشانه های متناوب در کنار یکدیگر، یک معیار کافی برای همگرایی لایب نیتس اعمال می شود.

فرض کنید (an) یک دنباله اعداد باشد به طوری که

1. an+1< an для всех n;

سپس سری متناوب شروع می شود.

39. سری عملکردی. سری پاور. شعاع همگرایی فاصله همگرایی

مفهوم سری عملکردی و سری توانی

سری اعداد معمولی، به یاد داشته باشید، از اعداد تشکیل شده است:

همه اعضای یک سری NUMBERS هستند.

سری عملکردی از توابع تشکیل شده است:

علاوه بر چند جمله ای ها، فاکتوریل ها و سایر هدایا، عضو مشترک این سری مطمئناً شامل حرف "X" می شود. به عنوان مثال، به نظر می رسد این است:

مانند یک سری اعداد، هر سری عملکردی را می توان به شکل توسعه یافته نوشت:

همانطور که می بینید، تمام اعضای سری تابعی تابع هستند.

محبوب ترین نوع سری های کاربردی است سری پاور

تعریف:

سری توانی مجموعه ای است که عبارت رایج آن شامل توان های اعداد صحیح مثبت یک متغیر مستقل است.

در بسیاری از کتاب های درسی، یک سری توان به سادگی به این صورت نوشته می شود: «پر کردن» آشنای قدیمی سری های اعداد کجاست (چند جمله ای ها، توان ها، فاکتوریل ها، فقط به «en» بستگی دارد). ساده ترین مثال:

بیایید به این بسط نگاه کنیم و یک بار دیگر تعریف را درک کنیم: اصطلاحات سری توان حاوی "x" در توان های اعداد صحیح مثبت (طبیعی) هستند.

اغلب، یک سری توان را می توان در «اصلاحات» زیر یافت: یا جایی که a یک ثابت است. به عنوان مثال:

به بیان دقیق، نمادهای ساده شده برای سری های قدرت کاملاً صحیح نیستند. در نماگر، به جای حرف تنها "en" ممکن است عبارت پیچیده تری وجود داشته باشد، به عنوان مثال:

یا این سری پاور:

اگر فقط شاخص های درجه برای "XA" طبیعی بود.

همگرایی سری های توان.

فاصله همگرایی، شعاع همگرایی و ناحیه همگرایی

نیازی به ترساندن چنین وفور اصطلاحات وجود ندارد. بهتر است چند سری آزمایشی ساده را انتخاب کنید و بلافاصله شروع به کشف آن کنید.

لطفا سری قدرت را دوست داشته باشید و از آن استفاده کنید. بیایید چندین مقدار دلخواه "x" را با عبارت رایج سری جایگزین کنیم:

اگر x=1، پس

اگر x=-1 باشد، پس

اگر x=3، پس

اگر x=-0.2، پس

بدیهی است که با جایگزین کردن "x" به یک مقدار یا مقدار دیگر، سری های اعداد متفاوتی بدست می آوریم. برخی از سری های اعداد همگرا و برخی واگرا خواهند شد. و وظیفه ما یافتن مجموعه ای از مقادیر "x" است که در آن سری توان همگرا می شود. به چنین مجموعه ای منطقه همگرایی سری می گویند.

برای هر سری توان (به طور موقت از یک مثال خاص انتزاع می شود)، سه حالت ممکن است:

1) سری توان کاملاً در یک بازه معین همگرا می شود. به عبارت دیگر، اگر مقداری از "x" را از بازه انتخاب کنیم و آن را با عبارت کلی سری توانی جایگزین کنیم، یک سری اعداد کاملاً همگرا به دست می آوریم. چنین فاصله ای را فاصله همگرایی سری توان نامیده می شود.

شعاع همگرایی، به طور ساده، نصف طول فاصله همگرایی است:

از نظر هندسی وضعیت به این صورت است:

در این مورد، فاصله همگرایی سری: شعاع همگرایی سری:

تعریف 6.1 به سری اعدادی که تعداد نامتناهی مثبت و نامتناهی جمله منفی دارند متناوب می گویند. یک مورد خاص از یک سری متناوب، یک سری متناوب است، یعنی مجموعه ای که در آن عبارت های متوالی دارای علائم متضاد هستند.

آزمون لایب نیتس

برای نشانه های متناوب در کنار یکدیگر، یک معیار کافی برای همگرایی لایب نیتس اعمال می شود.

فرض کنید (an) یک دنباله عددی باشد به طوری که

1. an+1< an ;

سپس سری های متناوب همگرا می شوند.

همگرایی مطلق و مشروط

تعریف 6.2 یک سری کاملاً همگرا است اگر سری هم همگرا شوند. اگر یک سری به طور مطلق همگرا شود، آنگاه همگرا است (به معنای معمول). عبارت معکوس درست نیست.

یک سری به صورت شرطی همگرا نامیده می شود که خودش همگرا باشد و سری متشکل از مدول های اعضای آن واگرا شود.

اجازه دهید آزمون کافی لایب نیتس را برای سری های متناوب اعمال کنیم. می گیریم

چون بنابراین، این مجموعه همگرا می شود.

سری را برای همگرایی بررسی کنید.

بیایید سعی کنیم معیار لایب نیتس را اعمال کنیم:

مشاهده می شود که مدول عبارت کلی برای n > ? به صفر تمایل ندارد. بنابراین این سری از هم جدا می شود

با اعمال آزمون دالامبر در مجموعه‌ای متشکل از ماژول‌های عبارت‌های مربوطه، متوجه می‌شویم

بنابراین، این مجموعه به طور مطلق همگرا می شود.

تعیین کنید که آیا یک سری کاملا همگرا، مشروط همگرا یا واگرا است؟

ابتدا از معیار لایب نیتس استفاده می کنیم و حد را پیدا می کنیم. بیایید این حد را با استفاده از قانون L'Hopital محاسبه کنیم:

بنابراین، سری اصلی از هم جدا می شوند.

سری را برای همگرایی بررسی کنید

اصطلاح رایج این سری برابر است. بیایید تست d'Alembert را در یک سری متشکل از ماژول ها اعمال کنیم:

از این رو. سری اصلی کاملاً همگرا هستند.

بررسی کنید که آیا یک سری کاملاً همگرا، مشروط همگرا یا واگرا است؟

با اعمال معیار لایب نیتس، می بینیم که سری همگرا است:

اجازه دهید اکنون همگرایی یک سری متشکل از مدول های عبارت های مربوطه را در نظر بگیریم. با استفاده از معیار انتگرال برای همگرایی، به دست می آوریم

بنابراین، سری اصلی به صورت مشروط همگرا می شود.

تعیین کنید که آیا یک سری کاملا همگرا، مشروط همگرا یا واگرا است؟

ابتدا معیار لایب نیتس را اعمال می کنیم:

بنابراین، این سری همگرا می شود. بیایید دریابیم که آیا این همگرایی مطلق است یا مشروط. اجازه دهید از معیار مقایسه محدود استفاده کنیم و سری مربوط به ماژول ها را با یک سری هارمونیک واگرا مقایسه کنیم:

از آنجایی که سری های متشکل از ماژول ها واگرا می شوند، سری متناوب اصلی مشروطاً همگرا هستند.

1. سریال با اصطلاحات مثبت. نشانه های همگرایی

تعیین همگرایی سری (1.1) و یافتن مجموع آن در مورد همگرایی مستقیماً توسط تعریف 1.1 به عنوان حد دنباله ای از مجموع جزئی بسیار دشوار است. بنابراین، معیارهای کافی برای تعیین همگرایی یا واگرایی یک سری وجود دارد. اگر همگرا شود، مقدار تقریبی مجموع آن با هر درجه ای از دقت می تواند مجموع تعداد متناظر n جمله اول سری باشد.

در اینجا سری (1.1) را با عبارات مثبت (غیر منفی) در نظر می گیریم، یعنی سریال هایی که چنین سری هایی را برای آنها سریال های مثبت می نامیم.

قضیه 3.1. (علامت مقایسه)

بگذارید دو سریال مثبت داده شود

و شرایط برای همه n=1،2،…

سپس: 1) از همگرایی سری (3.2) به دنبال همگرایی سری (3.1);

2) از واگرایی سری (3.1) واگرایی سری (3.2) به دست می آید.

اثبات 1. اجازه دهید سری (3.2) همگرا شود و مجموع آن برابر با B باشد. دنباله مجموع جزئی سری (3.1) غیر کاهشی است که در بالا با عدد B محدود شده است.

سپس، با توجه به ویژگی های چنین دنباله هایی، نتیجه می شود که دارای یک حد محدود است، یعنی سری (3.1) همگرا می شود.

2. اجازه دهید سری (3.1) واگرا شوند. سپس، اگر سری (3.2) همگرا شود، بر اساس نکته 1 که در بالا ثابت شد، سری اصلی نیز همگرا خواهند شد، که با شرایط ما در تضاد است. در نتیجه، سری (3.2) نیز واگرا می شود.

این معیار برای تعیین همگرایی سری ها، مقایسه آنها با سری هایی که همگرایی آنها قبلاً شناخته شده است، مناسب است.

مثال 3.1. سری را برای همگرایی بررسی کنید

عبارت‌های سری مثبت و کمتر از عبارت‌های مربوط به سری همگرای پیشروی هندسی هستند.

زیرا، n=1،2،…

بنابراین، در مقایسه، سری اصلی نیز همگرا هستند.

مثال 3.2. سری را برای همگرایی بررسی کنید

عبارات این سری مثبت و بزرگتر از جملات مربوط به سری هارمونیک واگرا هستند

در نتیجه، با توجه به معیار مقایسه، سری اصلی واگرا می شود.

قضیه 3.2. (علامت حد دالامبر).

سپس: 1) در q< 1 ряд (1.1) сходится;

• 2) برای q > 1، سری (1.1) واگرا می شود.

توجه: سری (1.1) نیز در صورت واگرایی خواهد بود

مثال 3.3. سری را برای همگرایی بررسی کنید

اجازه دهید آزمون حد دالامبر را اعمال کنیم.

در مورد ما.

مثال 3.4. سری را برای همگرایی بررسی کنید

بنابراین، سری اصلی همگرا می شوند.

مثال 3.5. سری را برای همگرایی بررسی کنید

بیایید تست حد D'Alembert را اعمال کنیم:

در نتیجه، سری اصلی از هم جدا می شوند.

نظر دهید. استفاده از آزمون حد دالامبر برای یک سری هارمونیک پاسخی در مورد همگرایی این سری نمی دهد، زیرا برای این سری

قضیه 3.3. (آزمون محدود کننده کوشی کوشی آگوستین لوئیس (1789 - 1857)، ریاضیدان فرانسوی.).

بگذارید شرایط سری مثبت (1.1) به گونه ای باشد که محدودیتی وجود داشته باشد

سپس: 1) در q< 1 ряд (1.1) сходится;

• 2) برای q > 1، سری (1.1) واگرا می شود.
• 3) برای q = 1، هیچ چیز در مورد همگرایی سری (1.1) مورد نیاز است.

مثال 3.6. سری را برای همگرایی بررسی کنید

بیایید تست حد کوشی را اعمال کنیم:

بنابراین، سری اصلی همگرا می شوند.

قضیه 3.4. (آزمون کوشی انتگرال).

اجازه دهید تابع f(x) یک تابع پیوسته غیرمنفی غیرافزاینده در بازه باشد

سپس سری و انتگرال نامناسب به طور همزمان همگرا یا واگرا می شوند.

مثال 3.7. سری هارمونیک را برای همگرایی بررسی کنید

اجازه دهید آزمون کوشی انتگرال را اعمال کنیم.

در مورد ما، تابع شرایط قضیه 3.4 را برآورده می کند. ما انتگرال نامناسب را برای همگرایی بررسی می کنیم

انتگرال نامناسب واگرا می شود، بنابراین سری هارمونیک اصلی نیز واگرا می شود.

مثال 3.8. سری هارمونیک تعمیم یافته را برای همگرایی بررسی کنید

تابع شرایط قضیه 3.4 را برآورده می کند.

ما انتگرال نامناسب را برای همگرایی بررسی می کنیم

موارد زیر را در نظر بگیرید:

• 1) اجازه دهید سپس سری هارمونیک تعمیم یافته یک سری هارمونیک است که واگرا می شود، همانطور که در مثال 3.7 نشان داده شده است.
• 2) اجازه دهید سپس

انتگرال نامناسب واگرا می شود و بنابراین سری واگرا می شود.

3) اجازه دهید سپس

انتگرال نامناسب همگرا می شود و بنابراین سری همگرا می شود.

بالاخره داریم

یادداشت ها 1. سری هارمونیک تعمیم یافته در واگرا خواهد شد، زیرا در این مورد معیار لازم برای همگرایی برآورده نمی شود: عبارت کلی سری به صفر تمایل ندارد.

2. استفاده از سری هارمونیک تعمیم یافته هنگام اعمال معیار مقایسه راحت است.

مثال 3.9. سری را برای همگرایی بررسی کنید

عبارات سری مثبت و کمتر از جملات مربوط به سری هارمونیک تعمیم یافته همگرا هستند

چون و پارامتر

در نتیجه، سری اصلی همگرا می شوند (در مقایسه).

اجازه دهید سری‌هایی را در نظر بگیریم که اصطلاحات آنها می‌تواند هم مثبت و هم منفی باشد.

تعریف 1

سری اعداد $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ که عبارت های آن دارای علائم دلخواه (+)، (؟) است، سری متناوب نامیده می شود.

سری های متناوب در نظر گرفته شده در بالا یک مورد خاص از یک سری متناوب هستند. واضح است که هر سری متناوب متناوب نیست. برای مثال، سری $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6 ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ متناوب، اما نه یک سری متناوب.

توجه داشته باشید که در یک سری متناوب اصطلاحات بی‌نهایت با علامت (+) و علامت (-) وجود دارد. اگر این درست نیست، برای مثال، سری شامل تعداد محدودی از جمله های منفی است، آنگاه می توان آنها را کنار گذاشت و مجموعه ای که فقط از جمله های مثبت تشکیل شده است را در نظر گرفت و بالعکس.

تعریف 2

اگر سری اعداد $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ همگرا شود و مجموع آن برابر با S باشد و مجموع جزئی برابر با $S_n$ باشد، آنگاه $r_(n ) =S-S_(n) $ باقیمانده سری نامیده می شود و $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty) r_(n) =\mathop(\lim )\limits_(n\ به \infty ) (S-S_(n))=S-S=0$، i.e. باقیمانده سری همگرا به 0 تمایل دارد.

تعریف 3

سری $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ کاملاً همگرا نامیده می شود اگر سری متشکل از مقادیر مطلق عبارت های آن $\sum \limits _(n=1 باشد. )^(\ infty )\left|u_(n) \right| $.

تعریف 4

اگر سری اعداد $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ همگرا شود و سری $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_ (n)\right| $، متشکل از مقادیر مطلق اعضای آن، واگرا می شود، سپس سری اصلی به طور مشروط (غیر مطلق) همگرا نامیده می شود.

قضیه 1 (معیار کافی برای همگرایی سری های متناوب)

یک سری متناوب $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ همگرا می شود و قطعاً اگر سری متشکل از مقادیر مطلق عبارت های آن همگرا شود $\sum \limits _( n=1)^ (\infty )\left|u_(n) \right| $.

نظر دهید

قضیه 1 فقط یک شرط کافی برای همگرایی سری های متناوب فراهم می کند. قضیه معکوس درست نیست، یعنی. اگر سری متناوب $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ همگرا شود، لازم نیست سری های تشکیل شده از ماژول های $\sum \limits _(n=1) ^( \infty )\left|u_(n) \right| $ (می تواند همگرا یا واگرا باشد). به عنوان مثال، سری $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ مطابق با معیار لایب نیتس همگرا می شود و سری متشکل از مقادیر مطلق عبارت های آن $\sum \limits _(n=1 است. )^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (سری هارمونیک) واگرا می شود.

ملک 1

اگر سری $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ کاملاً همگرا باشد، آنگاه برای هر جابجایی از شرایطش مطلقاً همگرا می شود و مجموع سری به این بستگی ندارد. ترتیب شرایط اگر $S"$ مجموع تمام عبارات مثبت آن باشد، و $S""$ مجموع تمام مقادیر مطلق عبارت های منفی باشد، مجموع سری $\sum \limits _(n=1) ^(\infty )u_(n) $ برابر است با $S=S"-S""$.

ملک 2

اگر سری $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ کاملاً همگرا و $C=(\rm const)$ باشد، آنگاه سری $\sum \limits _(n= 1)^ (\infty )C\cdot u_(n) $ نیز کاملاً همگرا است.

ملک 3

اگر سری $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ و $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ کاملاً همگرا باشند، سپس سری $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ نیز کاملاً همگرا هستند.

خاصیت 4 (قضیه ریمان)

اگر سری به طور مشروط همگرا باشد، مهم نیست که چه عدد A را می گیریم، می توانیم شرایط این سری را طوری مرتب کنیم که مجموع آن دقیقاً برابر با A باشد. علاوه بر این، می توان شرایط یک سری همگرای مشروط را مجدداً مرتب کرد تا پس از آن واگرا شود.

مثال 1

سری را از نظر همگرایی مشروط و مطلق بررسی کنید

\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}

راه حل. این سری متناوب است که عبارت کلی آن با: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n) نشان داده می شود =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}

مثال 2

سری $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n))(n+1) $ را برای همگرایی مطلق و شرطی بررسی کنید.

1. اجازه دهید سری را برای همگرایی مطلق بررسی کنیم. اجازه دهید $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ را نشان دهیم و یک سری مقادیر مطلق بسازیم $a_(n) =\ left|u_(n) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. سری $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ با عبارات مثبت که معیار محدود کننده مقایسه سری را برای آن اعمال می کنیم. برای مقایسه با سری $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n ) )(n+1) $ سری ای را در نظر بگیرید که به شکل $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^( \infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. این سری یک سری دیریکله با توان $p=\frac(1)(2) است.
2. در مرحله بعد، سری اصلی $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n))(n+1) $ را برای شرطی بررسی می کنیم همگرایی برای این کار احراز شرایط آزمون لایب نیتس را بررسی می کنیم. شرط 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $، که $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ ، یعنی این سریال متناوب است برای بررسی شرط 2) در مورد کاهش یکنواخت اصطلاحات سری، از روش زیر استفاده می کنیم. تابع کمکی $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ را در $x\in در نظر بگیرید.