10 мешков в одном фальшивые монеты. Загадка про фальшивые монеты. психологические упражнения для тренингов
В каждом из 10 мешков находится по 10 монет. Каждая монета весит 10 г. Но в одном мешке все монеты фальшивые - не по 10, а по 11 г. Как с помощью только одного взвешивания определить, в каком мешке (в 1-м, или во 2-м, или в 3-м и т.д.) находятся фальшивые монеты (все мешки пронумерованы от 1 до 10)? Мешки можно открывать и вытаскивать любое количество монет из каждого.
ОТВЕТ
Из первого мешка надо вытащить одну монету, из второго - две, из третьего - три и т.д. (из десятого мешка - все десять монет). Далее следует все эти монеты вместе один раз взвесить. Если бы среди них не было фальшивых монет, т.е. все они были бы весом по 10 г, то общий их вес составил бы 550 г. Но поскольку среди взвешиваемых монет есть фальшивые (по 11 г), то общий их вес будет больше 550 г. Причем если он окажется 551 г, то фальшивые монеты находятся в первом мешке, ведь из него мы взяли одну монету, которая и дала лишний 1 г. Если общий вес будет 552 г, значит, фальшивые монеты находятся во втором мешке, ведь из него мы взяли две монеты. Если общий вес будет 553 г, значит, фальшивые монеты находятся в третьем мешке и т.д. Таким образом, с помощью только одного взвешивания можно точно установить, в каком мешке находятся фальшивые монеты.
Десять мешков
Имеется 10 мешков монет. В одном мешке все монеты фальшивые. Подлинная монета весит 10 грамм, а Фальшивая монета весит 9 грамм. Как при помощи одного взвешивания на весах с делениями определить мешок с фальшивыми монетами?
Решение
Для начала надо пронумеровать все мешки от 1 до 10, далее необходимо взять из каждого мешка столько монет, сколько составляет его порядковый номер (от 1 до 10). Если бы все монеты были настоящие, то куча монет бы весила 550 грамм (1 + 2 + 3 ... + 10) * 10 = 550. Если мешок с фальшивыми монетами имеет номер N (N = от 1 до 10), то взятые из мешков монеты будут весить на N граммов меньше, следовательно, взятая куча монет будет весить меньше на N грамм. Т.е. на сколько грамм куча по весу отличается от 550 грамм, такой по счету мешок содержит фальшивые монеты.
Восемь мешков
У вас имеется 8 мешков с монетами, по 48 монет в каждом. В пяти мешках настоящие монеты, а в остальных – фальшивые. Фальшивые монеты на 1 грамм легче настоящих. С помощью одного взвешивания на точных весах определите все мешки с фальшивыми монетами, используя минимальное количество монет.
Решение
Из первого мешка монет доставать не надо (0), из второго мешка необходимо достать одну монету (1), из третьего две (2), четвёртого – четыре (4), пятого – семь (7), шестого – тринадцать (13), седьмого – двадцать четыре (24), восьмого – сорок четыре (44). Каждые три «кучки» монет, взятые вместе, уникальны в том плане, что дают определённый точный вес, позволяющий определить мешки с фальшивыми монетами (всего используется 95 монет). Если все монеты в предложенном решении были бы настоящими, то их суммарный вес был бы 95 у.е. (0+1+2+4+7+13+24+44). Сравните показание весов с тем, которое было бы в идеале, если бы все монеты были бы настоящими. Полученная разница (число условных единиц) укажет на номера мешков с фальшивыми монетами. Например, если разница составит 21, то фальшивые монеты во втором, пятом и шестом мешках, т.к. именно из них мы взяли 21 монету (1+7+13).
Новогодние шары
На новогодней ёлке висят три пары шаров: два белых, два голубых и два красных. Внешне шары одинаковые. Однако в каждой паре есть один лёгкий и один тяжёлый шар. Все лёгкие шары весят между собой одинаково, и так же все тяжёлые шары. С помощью двух взвешиваний на чашечных весах определите все лёгкие и все тяжёлые шары.
Решение
Положите один красный и один белый шар на левую чашу весов, а на правую чашу один синий и второй белый шар. Если достигнуто равновесие, то очевидно, что на каждой чаше есть один тяжёлый и один лёгкий шар. Поэтому достаточно сравнить два белых шара, чтобы узнать ответ на интересующий нас вопрос. Однако если после первого взвешивания равновесие не достигнуто, то на той стороне, что тяжелее, лежит тяжёлый белый шар. Следующим логическим шагом будет сравнение веса уже взвешенного красного шара и еще не взвешенного синего шара. После этого Вам будет ясно, какие шары лёгкие, а какие тяжёлые.
Девять мешков
Имеется девять мешков: восемь с песком и один с золотом. Мешок с золотом немного тяжелее. Вам даётся два взвешивания на чашечных весах, чтобы найти мешок с золотом.
Решение
Разделите девять мешков на три группы по три мешка каждая. Взвесьте две группы. Таким образом, Вы узнаете, в какой из групп мешок с золотом. Теперь выберите 2 мешка из той группы, где точно есть мешок с золотом, и взвесьте их.
27 теннисных мячей
Имеется 27 теннисных мячей. 26 весят одинаково, а 27-й немного тяжелее. Какое минимальное количество взвешиваний на чашечных весах гарантирует нахождение тяжёлого мячика?
Решение
Достаточно воспользоваться весами три раза. Разделите 27 мячей на 3 группы, по 9 мячей в каждой. Сравните две группы – тяжелый мячик окажется в той группе, которая перевесит. Если весы достигли равновесия, то тяжёлый мячик в третьей группе. Таким образом, мы определим группу из 9 мячиков, один из которых искомый. Поделите эту группу на 3 подгруппы, по три мячика в каждой. Аналогично первому шагу сравните вес двух любых подгрупп. Теперь сравните два мячика (два из трех, среди которых точно должен быть искомый).
Расколотая гиря
Купец уронил 40-фунтовую гирю, и она раскололась на 4 неравные части. Когда эти части взвесили, то оказалось, что вес каждой из них (в фунтах) – целое число. Более того, с помощью этих частей можно было взвесить на чашечных весах любой вес (представляющий собой целое число) до 40 фунтов. Сколько весила каждая часть?
Решение
Осколки весили: 1 фунт, 3 фунта, 9 фунтов и 27 фунтов, что в сумме дает 40 фунтов.
Гвозди в мешке
В мешке 24 кг гвоздей. Каким образом можно на чашечных весах без гирь отмерить 9 кг гвоздей?
Решение
Один из вариантов: разделите 24 кг на две равные части по 12 кг, уравновесив их на чашах весов. Затем так же разделить 12 кг на две равные части по 6 кг. После этого отложить одну часть, а другую разделить таким же способом на части по 3 кг. Наконец к шестикилограммовой части добавьте эти 3 кг. В результате получится 9 кг гвоздей.
Десять мешков
Имеется 10 мешков монет. В одном мешке все монеты фальшивые. Подлинная монета весит 10 грамм, а Фальшивая монета весит 9 грамм. Как при помощи одного взвешивания на весах с делениями определить мешок с фальшивыми монетами?
Для начала надо пронумеровать все мешки от 1 до 10, далее необходимо взять из каждого мешка столько монет, сколько составляет его порядковый номер (от 1 до 10). Если бы все монеты были настоящие, то куча монет бы весила 550 грамм (1 + 2 + 3 ... + 10) * 10 = 550. Если мешок с фальшивыми монетами имеет номер N (N = от 1 до 10), то взятые из мешков монеты будут весить на N граммов меньше, следовательно, взятая куча монет будет весить меньше на N грамм. Т.е. на сколько грамм куча по весу отличается от 550 грамм, такой по счету мешок содержит фальшивые монеты.
Восемь мешков
У вас имеется 8 мешков с монетами, по 48 монет в каждом. В пяти мешках настоящие монеты, а в остальных – фальшивые. Фальшивые монеты на 1 грамм легче настоящих. С помощью одного взвешивания на точных весах определите все мешки с фальшивыми монетами, используя минимальное количество монет.
Из первого мешка монет доставать не надо (0), из второго мешка необходимо достать одну монету (1), из третьего две (2), четвёртого – четыре (4), пятого – семь (7), шестого – тринадцать (13), седьмого – двадцать четыре (24), восьмого – сорок четыре (44). Каждые три «кучки» монет, взятые вместе, уникальны в том плане, что дают определённый точный вес, позволяющий определить мешки с фальшивыми монетами (всего используется 95 монет). Если все монеты в предложенном решении были бы настоящими, то их суммарный вес был бы 95 у.е. (0+1+2+4+7+13+24+44). Сравните показание весов с тем, которое было бы в идеале, если бы все монеты были бы настоящими. Полученная разница (число условных единиц) укажет на номера мешков с фальшивыми монетами. Например, если разница составит 21, то фальшивые монеты во втором, пятом и шестом мешках, т.к. именно из них мы взяли 21 монету (1+7+13).
Новогодние шары
На новогодней ёлке висят три пары шаров: два белых, два голубых и два красных. Внешне шары одинаковые. Однако в каждой паре есть один лёгкий и один тяжёлый шар. Все лёгкие шары весят между собой одинаково, и так же все тяжёлые шары. С помощью двух взвешиваний на чашечных весах определите все лёгкие и все тяжёлые шары.
Положите один красный и один белый шар на левую чашу весов, а на правую чашу один синий и второй белый шар. Если достигнуто равновесие, то очевидно, что на каждой чаше есть один тяжёлый и один лёгкий шар. Поэтому достаточно сравнить два белых шара, чтобы узнать ответ на интересующий нас вопрос. Однако если после первого взвешивания равновесие не достигнуто, то на той стороне, что тяжелее, лежит тяжёлый белый шар. Следующим логическим шагом будет сравнение веса уже взвешенного красного шара и еще не взвешенного синего шара. После этого Вам будет ясно, какие шары лёгкие, а какие тяжёлые.
Девять мешков
Имеется девять мешков: восемь с песком и один с золотом. Мешок с золотом немного тяжелее. Вам даётся два взвешивания на чашечных весах, чтобы найти мешок с золотом.
Разделите девять мешков на три группы по три мешка каждая. Взвесьте две группы. Таким образом, Вы узнаете, в какой из групп мешок с золотом. Теперь выберите 2 мешка из той группы, где точно есть мешок с золотом, и взвесьте их.
27 теннисных мячей
Имеется 27 теннисных мячей. 26 весят одинаково, а 27-й немного тяжелее. Какое минимальное количество взвешиваний на чашечных весах гарантирует нахождение тяжёлого мячика?
Достаточно воспользоваться весами три раза. Разделите 27 мячей на 3 группы, по 9 мячей в каждой. Сравните две группы – тяжелый мячик окажется в той группе, которая перевесит. Если весы достигли равновесия, то тяжёлый мячик в третьей группе. Таким образом, мы определим группу из 9 мячиков, один из которых искомый. Поделите эту группу на 3 подгруппы, по три мячика в каждой. Аналогично первому шагу сравните вес двух любых подгрупп. Теперь сравните два мячика (два из трех, среди которых точно должен быть искомый).
Расколотая гиря
Купец уронил 40-фунтовую гирю, и она раскололась на 4 неравные части. Когда эти части взвесили, то оказалось, что вес каждой из них (в фунтах) – целое число. Более того, с помощью этих частей можно было взвесить на чашечных весах любой вес (представляющий собой целое число) до 40 фунтов. Сколько весила каждая часть?
Осколки весили: 1 фунт, 3 фунта, 9 фунтов и 27 фунтов, что в сумме дает 40 фунтов.
Гвозди в мешке
В мешке 24 кг гвоздей. Каким образом можно на чашечных весах без гирь отмерить 9 кг гвоздей?
Один из вариантов: разделите 24 кг на две равные части по 12 кг, уравновесив их на чашах весов. Затем так же разделить 12 кг на две равные части по 6 кг. После этого отложить одну часть, а другую разделить таким же способом на части по 3 кг. Наконец к шестикилограммовой части добавьте эти 3 кг. В результате получится 9 кг гвоздей.
Десять шляп
На столе лежит десять пронумерованных шляп. В каждой шляпе лежит по десять золотых монет. В одной из шляп находятся фальшивые монеты. Настоящая монета весит 10 граммов, а поддельная только 9. В помощь даны весы со шкалой в граммах. Как определить в какой из шляп находятся фальшивые монеты, используя весы только для одного взвешивания? Весы могут взвешивать не более 750 грамм.
Из первой шляпы берем 1 монету, из второй – 2, из третьей – 3 и т.д. Все это взвешиваем и отнимаем результат от идеального веса (в нашем случае 55×10 = 550 грамм). Получившееся число будет совпадать с номером шляпы с фальшивыми монетами.
81 монета
Имеется 81 монета одного достоинства. Из них одна фальшивая и она легче настоящей монеты. Как с помощью четырех взвешиваний на чашечных весах найти эту монету?
Необходимо каждый раз весь объем монет делить на 3 равных кучи и взвешивать 2 из них. Если кучи по весу равны, то искомая монета в третьей куче, если же какая-то из двух куч легче, то фальшивая монета в ней. Далее найденную кучу снова нужно делить на 3 части и взвешивать любые 2. В первом взвешивании измеряются кучи по 27 монет, во втором взвешивании измеряются кучи по 9 монет, в третьем взвешивании измеряются кучи по 3 монеты и в четвертом взвешивании на чаши весов ложится по одной монете.
Головоломные весы
На двух рисунках чашечные весы находятся в равновесии. Как вы думаете, сколько груш надо использовать, чтобы уравновесить шесть апельсинов на третьих весах?
Первые весы показывают, что 2 яблока + 1 апельсин весят столько же, сколько одна груша. Вторые весы показывают, что 2 яблока + 2 апельсина = 6 яблокам, т.е. 2 апельсина равны 4 яблокам или 1 апельсин = 2 яблокам. Исходя из данных первых и вторых весов получим, что 1 груша равна 4 яблокам или 2 апельсинам. Отсюда, 6 апельсинов уравновесятся 3 грушами.
На двух рисунках чашечные весы находятся в равновесии. Как вы думаете, сколько груш надо использовать, чтобы уравновесить два яблока и один апельсин?
По данным вторых весов видно, что яблоко равно груше и апельсину. Если эти данные подставить на первые весы, то получим, что два апельсина равны одному апельсину и двум грушам, следовательно, один апельсин равен двум грушам. Подставив вместо апельсина две груши на вторые весы получим, что яблоко равно трем грушам. Отсюда, чтобы уравновесить третьи весы необходимо 8 груш.
На двух рисунках чашечные весы находятся в равновесии. Как вы думаете, сколько груш надо использовать, чтобы уравновесить два яблока и два апельсина?
Необходимо увеличить фрукты на первых весах в три раза, получится 12 груш + 3 яблока = 15 апельсинов. На вторых весах известен вес 3 яблок = 3 апельсинам и 6 грушам, перенесем их вместо 3 яблок на первые весы. Получим: 18 груш = 12 апельсинов или 3 груши = 2 апельсинам. Далее весы Б умножим на 2. Получим: 6 яблок = 6 апельсинам + 12 груш. Заменим 6 апельсинов эквиваленту в грушах, получится: 6 яблок = 21 груша или 2 яблока = 7 грушам. Таким образом, 2 яблока + 2 апельсина = 7 груш + 3 груши = 10 груш.
Сколько требуется апельсинов, чтобы уравнять весы на последней картинке. Доставлять предметы можно только на правую часть весов.
Чтобы уравнять весы понадобится 5 апельсинов.
Сахар в пакетах
Имеется два пакета, один пустой, а в другом 9 кг сахара. Как за 3 взвешивания на чашечных весах с использованием гирек на 50г и 200г распределить сахар по пакетам в пропорции: 2кг в одном пакете и 7кг в другом?
1. Необходимо развесить сахар по мешкам на 2 равные части по 4,5кг.
2. Сахар в одном пакете снова разделить пополам по 2,25кг и рассыпать по пакетам (в одном пакете будет 2,25кг, а в другом 6,75кг).
3. При помощи двух гирек в сумме на 250г отделить 250г сахара от пакета с 2,25кг и переложить в другой пакет. В итоге в одном пакете будет 7кг, в другом 2кг сахара.
4 монеты
Имеется 4 монеты, из которых одна фальшивая и она отличается от подлинных по весу или в большую или в меньшую сторону. Как определить фальшивую монету при 2 взвешиваниях на чашечных весах?
Положим на весы 1 и 2 монету: 1)если они не уравновешиваются, то снимаем вторую и положим на ее место третью. Если весы будут в равновесии, то монета 2 фальшивая. Если весы не уравновесятся, то монета 1 фальшивая. 2)весы уравновесились, тогда снимаем монету 2 и на ее место положим монету 3. Если весы уравновесятся, то фальшивая монета 4. Если весы не уравновесятся, то фальшивая монета 3.
Две гири
Имеются стандартные весы с чашечками и две гири: 10 и 2 кг. Как с их помощью взвесить 3 кг слив?
Изначально взвешиваем 2 кг слив. Затем делим их поровну по чашам весов, чтобы весы уравновесились. 1 кг слив получен. Имя 1кг и гирю в 2 кг можно отмерить любое нужное количество, в том числе и 3 кг.
68 монет
Есть 68 монет, все они разные по весу. Как за 100 взвешиваний найти самую легкую и самую тяжелую?
Взвешиваем попарно все монеты, легкие откладываем в одну кучку, тяжелые - в другую, всего получается 34 взвешивания. В первой кучке взвешиваем по очереди все монеты с наиболее легкой на данный момент, т.е. если попадается более легкая, то следующие монеты взвешиваются уже с ней, и так 33 раза. С правой кучкой - то же самое, но только выявляем наиболее тяжелую монету, также 33 взвешивания. Итого - ровно 100 взвешиваний.
Испорченные весы
Среди 100 одинаковых на вид монет есть несколько фальшивых. Все фальшивые монеты весят одинаково, все настоящие – тоже, фальшивая монета легче настоящей. Имеются также весы (с двумя чашами без стрелки), на каждой чашке умещается только по одной монете. При этом весы слегка испорчены: если монеты разного веса, перевешивает более тяжёлая монета, а если одинакового – перевесить может любая чашка. Как с помощью этих весов найти хотя бы одну фальшивую монету?
Разделим монетки на 33 кучки по 3 монетки + 1 монетка.
Каждое трио взвешиваем между собой, получим 3 неравенства, в результате которых увидим, либо каждая монетка будет по одному разу весить меньше от других двух, либо два раза будет весить меньше других двух.
1>2 (возможны такие варианты: н=н, ф=ф, 2-фальшивка)
1<3 (н=н, ф=ф, 1- фальшивка)
2>3 (н=н, ф=ф, 3- фальшивка)
такое возможно, если все три монетки имеют одинаковый вес вежду собой, то есть из них откладываем в сторонку любую одну
1<2(н=н,ф=ф,1-ф)
1<3(н=н,ф=ф,1-ф)
2>3(н=н,ф=ф,3-ф)
У 1 больше вероятность оказаться фальшивой, так что ее и откладываем.
И так проделываем с каждой из 33-х кучек, в результате отложим 11 монет +1, которая не попала ни в одну из кучек.
Эти 12 монет опять разделяем на 4 кучки по 3 монетки, проделываем те же манипуляции, в результате получим 4 монетки, разделяем на 1 кучку+1, та монетка из кучки, которая окажется легче, вновь откладываем и сравниваем с одинокой монеткой. Та, которая легче и будет фальшивой.
80 монет
Имеется 80 монет, одна из которых фальшивая, причем она легче других. За какое наименьшее число взвешиваний на весах без гирь можно найти фальшивую монету?
Фальшивую монету можно определить за 4 взвешивания. Алгоритм следующий. Первое взвешивание: кладем на чаши по 27 монет. В случае равновесия фальшивая среди оставшихся 26. Если одна чаша легче, то фальшивая среди лежащих на ней 27. Второе взвешивание: кладем на обе чаши по 9 монет из числа "подозреваемых" и рассуждаем аналогично. В третьем взвешивании положим на чаши по 3 монеты, а в четвертом - по одной. Как видим, здесь деление не пополам, а на три по возможности равные части.
Мудрец
Когда за доброе дело правитель страны решил наградить умного человека, тот пожелал взять столько золота, сколько весит слон. Но как же взвесить слона? В те времена не было таких весов. Что бы в подобной ситуации смогли придумать вы?
Мудрец сделал так: он поместил слона в лодку, затем отметил по борту уровень воды. Когда слона вывели из лодки, осталось только поместить туда золото.
Пять предметов
Пять различных по весу предметов требуется расположить в порядке убывания их веса. Пользоваться можно только простейшими весами без гирь, которые позволяют лишь установить, какой из двух сравниваемых по весу предметов тяжелее. Как следует действовать, чтобы решить задачу оптимальным образом, то есть так, чтобы число взвешиваний было минимальным? Сколько взвешиваний придется при этом произвести?
Первым взвешиванием сравним любые два из пяти данных предметов. Пусть A - более легкий, а B - более тяжелый предмет. Тогда результат первого взвешивания запишем в виде A Затем сравним два других предмета и обозначим более легкий D а более тяжелый - E: D Пятый предмет обозначим C.
Третьим взвешиванием сравним предметы B и E. Обе возникающие здесь возможности приводят к аналогичным рассуждениям, поэтому мы ограничимся рассмотрением случая B Четвертым взвешиванием сравним пятый предмет C с предметом B. Необходимо различать два случая:
а) B б) C В первом случае (B A Сравним (для этого понадобится пятое взвешивание) предметы C и E. Здесь также необходимо различать два возможных случая: E Если A В случае A Во втором случае (C A Сравним предметы A и C (пятое взвешивание). В обоих возможных случаях (A Поскольку мы исчерпали все возможные случаи, то доказательство на этом заканчивается.
Двое весов
Имеется 9 одинаковых монет, одна из которых фальшивая и по этой причине легче остальных. Мы располагаем двумя весами без гирь, позволяющими сравнивать по весу любые группы монет. Однако одни из имеющихся весов являются грубыми, на них нельзя отличить фальшивую монету от настоящей. Их точность не позволяет уловить разницу в весе. Зато другие весы точные. Но какие весы грубые, а какие точные - неизвестно. Как в этой ситуации с помощью трех взвешиваний определить фальшивую монету?
Положим на весы №1 по четыре монеты на каждую чашку. Если одна группа монет перевесила, то остальное понятно - эти весы точные, и мы знаем 4 монеты, среди которых одна фальшивая. Пусть весы оказались в равновесии. Обозначим через А девятую монету и добавим к ней монеты В и С - по одной из каждой четверки. Оставшиеся две тройки монет положим на чаши весов №2. Худший вариант - вновь равновесие. Тогда на весах №2 сравниваем монеты В и С. В случае равновесия фальшивой будет монета А.
2000 шариков
Имеются 6 гирь весом 1, 2, 3, 4, 5 и 6 г. На них нанесена соответствующая маркировка. Однако есть основания считать, что при маркировке гирь допущена одна ошибка. Как при помощи двух взвешиваний на чашечных весах, на которых можно сравнить веса любых групп гирь, определить, верна ли имеющаяся на гирях маркировка?
На одну чашу весов кладем гири, маркированные 1, 2 и 3 г., а на другую - 6 г. Равновесие означает, что ошибка в маркировке возможна лишь внутри групп 1-2-3 и 4-5. При втором взвешивании на одну чашу кладем гири 3 и 5 г., на другую - 6 и 1 г. Если первая чаша перевесила, то ошибки а маркировке нет.
8 монет
Имеется 8 с виду одинаковых монет. Одна из них фальшивая и известно, что она легче настоящей. Как с помощью всего лишь двух взвешиваний на чашечных весах найти фальшивую монету?
Делим монеты на три кучки по 3, 3 и 2 монеты. Взвешиваем кучки в которых по три монеты. Если вес одинаковый, то взвешиваем 2 монеты из третьей кучки между собой и выявляем фальшивую (более легкую). Если же одна группа из трех монет легче другой, значит там есть фальшивая монета. Оставляем более легкую группу из трех монет и кладем на весы две монеты и действуем по предыдущему алгоритму: если вес одинаков, значит, фальшива третья, а если нет, то та, которая легче.
Головоломка Саладина
Эта история случилась давным-давно, еще во времена крестовых походов. Один из рыцарей был захвачен мусульманами в плен и предстал перед их предводителем - султаном Саладином, который объявил, что освободит пленника и его коня, если получит выкуп в 100 тысяч золотых монет. "О, великий Саладин, - обратился тогда к султану рыцарь, у которого за душой не было ни гроша, - ты лишаешь последней надежды. У меня на родине мудрому и находчивому пленнику дается шанс выйти на свободу. Если он решит заданную головоломку, его отпускают на все четыре стороны, если нет - сумма выкупа удваивается!"
"Да будет так, - ответил Саладин, и сам обожавший головоломки. - Слушай же. Тебе дадут двенадцать золотых монет и простые весы с двумя чашками, но без гирь. Одна из монет фальшивая, однако неизвестно, легче она или тяжелее настоящих. Ты должен найти ее всего за три взвешивания. Hе справишься с задачей до утра - пеняй на себя!" А вы смогли бы выкрутиться?
Необходимо 12 монет разбить на 4 кучи по 3 монеты в каждой. Положим на весы 2 кучи (на разные чаши по одной). Далее возможны два случая: 1)Если весы не в равновесии, то фальшивая монета находится в одной из этих куч. Снимаем более легкую кучу и в место нее положим третью. Если весы будут в равновесии, то фальшивая монета находится в куче снятой с весов. Если весы не в равновесии, то фальшивая монета в более тяжелой куче. (Пока было произведено 2 взвешивания). 2)Если весы после первого взвешивания в равновесии, то снимаем любую кучу и на ее место положим третью. Если весы в равновесии, то фальшивая монета в четвертой куче. Если весы не в равновесии, то фальшивая монета в третьей куче. (Пока было произведено 2 взвешивания). После нахождения кучи из 3 монет, то далее определяем какая из 3 монет фальшивая: нужно в третьем взвешивании положить 2 монеты и если они в равновесии, то фальшивая третья монета. Если же они не уравновесятся, то вместо более легкой монеты нужно положить третью. Если весы уравновесятся, то фальшивая снятая монета. Если не уравновесятся, то фальшивая более тяжелая монета.
20 фунтов чая
Как развесить 20 фунтов чая в 10 коробок по 2 фунта в каждой за девять развесов, имея только гири на 5 и на 9 фунтов, используются обычные чашечные весы?
1) Hа одну чашу весов необходимо положить гирю в 5 фунтов, на другую гирю в 9 фунтов. Затем уравновесить весы, насыпав 4 фунта чая в чашу с гирей на 5 фунтов.
2) Убрать гири с чаш весов, оставить 4 фунта в одной чаше и уравновесить весы, насыпав во вторую еще 4 фунта.
3) Еще раз отвесить 4 фунта.
4) И еще раз 4 фунта. Таким образом, после четырех взвешиваний в остатке будет тоже 4 фунта.
5-9) Разделить 4 фунта пополам, уравновешивая чаши весов.
101 монета
Среди 101 одинаковых по виду монет, одна фальшивая, отличающаяся по весу. Как с помощью чашечных весов без гирь за два взвешивания определить, легче или тяжелее фальшивая монета? Находить фальшивую монету не требуется.
Взвешиваем 50 и 50 монет:
1) Равенство:
Берем оставшуюся монету и ставим ее в левую кучку вместо одной из имеющихся там
1.1 Левая кучка тяжелее => фальшивая монета тяжелее
1.2 Левая кучка легче => фальшивая монета легче
2) Hеpавенство:
Берем более тяжелую кучку и разбиваем ее на две кучки по 25 монет.
2.1 Вес кучек одинаковый => фальшивая монета легче
2.2 Вес кучек неодинаковый => фальшивая монета тяжелее
Задача барона Мюнхгаузена
У барона Мюнхгаузена есть восемь внешне одинаковых гирек весом 1 г, 2 г, 3 г, ..., 8 г. Он помнит, какая из гирек сколько весит, но граф Склероз ему не верит. Сможет ли барон провести одно взвешивание на чашечных весах, в результате которого будет однозначно установлен вес хотя бы одной из гирь?
7+8=1+2+3+4+5, остается 6.
2N монет
Имеется 2N пронумерованных монет, причем: все настоящие монеты весят одинаково, все фальшивые также весят одинаково, фальшивая монета легче настоящей. монеты с номерами от 1 до N настоящие, а монеты с номерами от N+1 до 2N - фальшивые. Из этих двух утверждений судья знает только первое, а эксперт - оба. Как эксперту за три взвешивания на чашечных весах без гирь убедить судью в справедливости второго утверждения?
a: N=7
b: N=9
Задача "a" предлагалась на одной из Всесоюзных математических олимпиад в 1970-х годах. С тех пор число N=7 (и в общем случае, N=2^K-1 для K взвешиваний) считалось не улучшаемым. И тем не менее, это не так. Улучшение (задача "b") придумано С. Токаревым в 1997 году.
a) 1) Эксперт взвешивает монеты 1 и 8. (1 > 8)
Судья убеждается, что 8 - фальшивая.
2) Эксперт взвешивает 1+8 и 9+10. (1+8 > 9+10)
Судья убеждается, что 9+10 легче, чем одна фальшивая и одна настоящая. Следовательно, он заключает, что и 9, и 10 - фальшивые.
3) Эксперт взвешивает 1+8+9+10 и 11+12+13+14.
Аналогично, судья может сделать вывод о всех монетах 11-14. Заметим, что настоящая монета нужна ровно одна.
b) Предварительное действие: эксперт группирует монеты в такие три кучки: А (1, 2; 10, 11); Б (3, 4, 5; 12, 13, 14); В (6, 7, 8, 9; 15, 16, 17, 18); В каждой кучке поровну настоящих и фальшивых монет, эксперту это известно, а судье будет доказано в результате взвешиваний.
1) На левую чашку весов кладутся настоящие монеты из кучки А и фальшивые из кучки Б, а на правую - фальшивые из кучки А и настоящие из кучки Б. Правая чашка тяжелее левой.
2) На левую чашку весов кладутся настоящие монеты из кучки Б и фальшивые из кучки В, а на правую - фальшивые из кучки Б и настоящие из кучки В. Правая чашка тяжелее левой.
3) На левую чашку весов кладутся настоящие монеты из кучки В и фальшивые из кучек А и Б, а на правую - фальшивые из кучки В и настоящие из кучек А и Б. Правая чашка тяжелее левой.
Обозначим x разность весов настоящих и фальшивых монет кучки A, т.е. (1+2) -(10+11), y - то же для кучки Б, то есть (3+4+5)-(12+13+14), z - (6+7+8+9)-(15+16+17+18).
Наши взвешивания доказали судье следующие три неравенства:
y > x; z > y; x+y > z.
Поскольку x,y,z – целые числа, то строгие неравенства можно заменить на нестрогие:
y >= x+1
z >= y+1
x+y >= z+1.
Отсюда: x+y >= y+2 => x >= 2;
x+y >= x+3 => y >= 3;
2z >= x+y+3 >= z+4 => z >= 4.
С другой стороны, очевидно, что разность между K настоящими монетами и K неизвестными монетами не может быть больше, чем K, причем равенство бывает только тогда, когда все неизвестные монеты - фальшивые. Это и доказывает судье все что надо...
Заметим, что и в этом случае 9 настоящих монет не нужно! А сколько их нужно на самом деле? Подумайте...
Еще более интересная задача - для четырех взвешиваний. Алгоритм из задачи а) дает возможность эксперту доказать фальшивость 15 монет. Обобщение алгоритма Токарева позволяет улучшить эту оценку до 27.
Побег из темницы
Король, его сын принц и дочь принцесса находились в темнице высокой башни. Они весили 195, 105 и 90 фунтов соответственно. Еду им поднимали в двух корзинах, прикрепленных к концам длинного каната. Канат был перекинут через балку, вбитую под самой крышей. Получалось так, что, когда одна корзина находилась на земле, вторая находилась на уровне оконца в камере пленников. Эти корзины оставались единственной надеждой на спасение. Естественно, как только одна корзина становилась тяжелее другой, она опускалась. Однако если разница в весе превышает 15 фунтов, корзина стремительно неслась вниз. Единственное что помогло бы пленникам бежать из плена, было находившееся в камере пушечное ядро весом 75 фунтов – его можно было попытаться использовать как противовес. Как пленникам удалось бежать?
1. Спускается принцесса, используя ядро в качестве противовеса.
2. Принцесса, достигнув земли, не вылезает из корзины. Принц занимает место ядра и спускается вниз, используя принцессу в качестве противовеса.
3. Принцесса поднимается вверх и вместе с королем кладёт в корзину ядро.
4. В опустившуюся корзину с ядром садится принц, что позволяет опустить короля.
5. Когда король оказывается на земле, принц с ядром оказывается наверху. Принц выбирается из корзины и корзина с ядром опускается вниз.
6. В пустую корзину у темницы садится принцесса и спускается на землю.
7. Принц вытаскивает ядро из поднявшейся корзины и спускается сам, используя принцессу как противовес.
8. Принцесса опускает в пустой корзине ядро, а сама садится в поднявшуюся и спускается, используя ядро в качестве противовеса.
1999 монет
Имеется набор из 1999 монет. Известно, что 1410 из них – фальшивые. Фальшивая монета по весу отличается на 1 г от подлинной, причем одни фальшивые монеты могут быть легче, а другие тяжелее подлинных. У нас есть чашечные весы, которые умеют показывать разницу в весе. Как за одно взвешивание определить подлинность любой монеты из набора?
Взвешиваем все монеты кроме этой и смотрим на разность в весе. Обозначим вес нормальной монеты как N, тогда все монеты будут весить либо 1998*N+2x (где 0=<705) - в данном случае наша монета настоящая, либо 1998*N+(2x-1) (где 0=<705) - в этом случае наша монета фальшивая.